Permutation
Was ist Permutation
- Permutation ist die Gesamtheit der möglichen Kombinationen von Elementen einer gegebenen Menge miteinander.Die Formel der Permutation lautet
Pn= n! / (n1! · n2! ·…· nk!)
Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen bei der Permutation
- Alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
- Es müssen alle Elemente ausgewählt werden.
- Ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden.
Merke Dir:
- Permutationen mit und ohne Wiederholung (Anzahl der Reihenfolgen für eine bestimmte Ziehung): Pn= n! / (n1! · n2! ·…· nk!)
⇒Wenn alle Kugeln verschieden sind (Permutationen ohne Wiederholung), gilt: Pn= n!
- Kombinationen ohne Wiederholung (Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle.):
⇒Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (ohne Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:
Cn,k= (nk) = n! / (k!·(n–k)!)
- Kombinationen mit Wiederholung(Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. Die Möglichkeiten sind aber nicht gleichwahrscheinlich!):
⇒Anzahl der Möglichkeiten bei der Ziehung von k Kugeln (mit Zurücklegen) bei n unterscheidbaren Kugeln:
Cn,k= (n–1+kk) = (n–1+k)! / (k!·(n–1)!)
Beispiel
Ein Student muss im Laufe eines Semesters 3 Prufungen ¨ ablegen, wir nennen sie der Einfachheit halber A, B und C. Die Reihenfolge, in der er die Prufungen ablegt, ist ¨ beliebig. Wieviele m¨ogliche Reihenfolgen gibt es? Wenn man mit “A B C”den Fall bezeichnet, dass der Student zuerst Prufung ¨ A, dann B, und zum Schluss C ablegt, dann gibt es insgesamt folgende M¨oglichkeiten:
- A B C
- A C B
- B A C
- B C A
- C A B
- C B A
Die Frage ist natürlich, warum es gerade 6 Möglichkeiten gibt
Die Zahl der Reihenfolgen (= Permutationen) bestimmt man folgendermaßen: Der Student unseres Beispiels hat für die Wahl der 1. Prüfung 3 Möglichkeiten (also A, B oder C). Egal wie er sich entscheidet, für die Wahl der 2. Prüfung bleiben nur noch 2 zum Auswählen (wenn er zum Beispiel zuerst Prüfung B ablegt, kann er als 2. Prufung A oder C absolvieren, also 2 Varianten). Für die letzte Prüfung bleibt nur noch 1 zur Auswahl übrig.
Die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen der 3 Prufungen ist dann 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6.
Also ist unser Ergebnis 6!!!
Unser Lernvideo zu : Permutation
Beispiel 2
In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einem Kreis anzuordnen?
Lösung
(5−1)!=4!=4⋅3⋅2⋅1=24
Antwort: Es gibt 24 Möglichkeiten fünf verschiedenfarbige Kugeln in einem Kreis anzuordnen.