Quadratische Funktion durch 2 Punkten
- Gleichungen, die man auf die Form ax2 +bx +c = 0 bringen kann, heißen quadratische Gleichungen. Man nennt ax das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Gleichung. Eine quadratische Gleichung bei der das lineare Glied fehlt, heißt reinquadratisch, sonst gemischtquadratisch.
- Bei einer quadratischen Gleichung kommt x also in der 2.Potenz vor, jedoch nicht in der 3.Potenz, 4.Potenz usw.
- Außerdem darf noch ein konstantes Glied c (auch Absolutglied genannt) in der Gleichung vorkommen, sowie ein ein lineares Glied. Im Allgemeinen hat eine quadratische Gleichung somit folgende Form: ax2+bx+c=0
Merke: DerKoeffizient a darf nicht gleich Null sein, denn dann würde der erste Summand zu Null, und es würde nur eine lineare Gleichung vorliegen
- Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt Parabel sie zu den Kegelschnitten. Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Eine Parabel kann daher als Ellipse angesehen werden, bei der einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen liegt.
Unser Lernvideo zu : Quadratische Funktion durch 2 Punkten
Beispiel
Wir haben zwei Punkte gegeben und wollen die dazugehörige qaudratische Funktion bestimmen
Unsere Punkte lauten P1(2/0) und P2(0/-8)
Es gilt: y = ax2+bx+c
Setzt man den Punkt (0/-8) ein, ergibt sich diese Gleichung: 0*a + 0*b + c = -8
also c = -8
Setzen wir noch den anderen Punkt ein (2/0), so erhalten wir diese Gleichung: 4a + 2b + c = 0
Für c können wir noch das weiter oben errechnete -8 einsetzen: 4a + 2b -8 = 0 oder 4a + 2b = 8
jetzt noch durch 2 dividieren: 2a + b = 4
Hier ist eine Unbekannte frei wählbar, und die andere kann man dann berechnen. Wir können zum Beispiel nach a auflösen: a = (4-b)/2 oder aber auch nach b auflösen: b = 4-2a
Wir nehmen hier a! a wählen wir frei, und das b berechnen wir dann aus diesem gewählten a, nach der Formel b = 4-2a.
Zusammenfassend: die Gleichung heißt y = ax2+bx+c
a lassen wir stehen, für b setzen wir (4-2a), und c erhält den Wert -8
Somit: y = ax2+ (4-2a)x – 8
Jetzt darf man also für a einen beliebigen Wert einsetzen, und daraus erhält man eine gültige Parabelgleichung. Dann erhält man automatisch die Geradengleichung durch die zwei Punkte:
g: y = 4x – 8
Für a den Wert 1 eingesetzt: y = x2 + 2x – 8
Für a den Wert 2 eingesetzt: y = 2x2– 8
Zusammenfassend: die Gleichung heißt y = ax2+bx+c
a lassen wir stehen, für b setzen wir (4-2a), und c erhält den Wert -8
Somit: y = ax2+ (4-2a)x – 8
Jetzt darf man also für a einen beliebigen Wert einsetzen, und daraus erhält man eine gültige Parabelgleichung. Dann erhält man automatisch die Geradengleichung durch die zwei Punkte:
g: y = 4x – 8
Für a den Wert 1 eingesetzt: y = x2 + 2x – 8
Für a den Wert 2 eingesetzt: y = 2x2– 8
Für a den Wert -1 eingesetzt: y = -x2 + 6x – 8
Und so weiter und so fort… Wir haben als Lösung nicht eine einzelne Parabel erhalten, sondern eine ganze, den sogenannte Parabelschar.
Lösung lautet also y=ax2+(4-2a)x-8 mit a ≠ 0