Nullstellen des Polynoms
Nullstellen des Polynoms
Zuerst wollen wir einmal den Begriff Polynom definieren.
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen. Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms.
- Polynome 1. Grades sind die Geraden
- Polynome 2. Grades sind die Parabeln
- Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s -Form
- Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema
- Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich.
Was sagen und die Nullstellen des Polynoms aus?
- 1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der x-Achse.
- 2-fache Nullstelle: Berührstelle mit der x-Achse.
- 3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt.
Vorgehensweise beim rechnen der Nullstellen vom Polynom
- Nullstellen des Polynoms bestimmen, z.B durch raten
- Hat man eine Nullstelle (x0 )bestimmt, teilt man das Polynom mit hilfe des Polynomdivison durch (x– x0) und hat somit das Polynom um einen Grad reduziert.
- Das Verfahren wird so lange durchgeführt, bis man keine Nullstelle mehr finden kann oder das Restpolynom noch höchstens Grad zwei hat und man es mit Hilfe der p-q Formel weiter behandeln kann.
Wann liegt eine Nullstelle vor?
- Eine Nullstelle liegt vor, wenn die Gleichung f(x) = 0 erfüllt ist, das heißt jeder x-Wert, der diese Gleichung erfüllt ist Nullstelle. Im geometrischen Sinne bedeutet das, dass der Funktionsgraph bei einer Nullstelle die x-Achse schneidet.
Unser Lernvideo zu : Nullstellen des Polynoms
Wir berechnen gemeinsam einen Beispiel durch, damit ihr das Schema besser nachvollziehen könnt!
Unsere Funktion lautet f(x)
Durch raten erhalten wir unsere Nullstelle. Diese lautet f(2)=0
jetzt können wir unsere Polynomdivision aufstellen!
Nachdem wir unsere Polynomdivision aufgestellt haben, fangen wir an zu rechnen. Das Verfahren Polynomdivision funktioniert sehr ähnlich wie schriftliches Dividieren.
- Zuerst teilen wir den ersten Summanden der ersten Klammer durch den ersten Summanden der zweiten Klammer und schreiben das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen.
- Danach multiplizieren wir den ersten Summanden hinter dem Gleichheitszeichen mit der zweiten Klammer und schreiben das Ergebnis unter den ersten Summanden der ersten Klammer.
- Danach subtrahieren wir die untere Klammer von der ersten oberen Klammer.
Schritt 2
Schritt 3
Nun haben wir folgendes heraus
⇒ x³ -x²– 22x+40 = (x-2)* (x²+ x -20)
auf (x²+x-20) wird die p-q Formel angewenden.
Unsere Nullstellen mit der p-q Formel lauten:
x1=-5
x2=4
Unsere Funktion können wir mit Hilfe der berechneten Nullstellen in Linearfaktoren zerlegen!
Merk euch folgendes!
- Faktorisieren mit Hilfe von Polynomdivision eignet sich ab dem 3. Grades
- Maximal kann eine Polynomfunktion so viele Nullstellen wie ihr Grad haben
- Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens (n-1) Extrema
- Nullstelle mit ungerader Vielfachheit – Vorzeichenwechsel
- Nullstelle mit gerader Vielfachheit –kein Vorzeichenwechsel
Kleiner Trick beim Ausprobieren!
⇒Wenn alle Koeffizienten eines Polynoms ganzzahlig sind, dann teilt eine ganzzahlige Nullstelle den letzten Koeffizienten (den ohne x)
⇒Wenn ihr nicht raten wollt, dann könnt ihr auch eure erste Nullstelle mit dem Taschenrechner berechnen.
1. Alternative : shift + mode 7, dann die Funktion eingeben, Wertetabellenbereich bestimmen ( von bis), und X ablesen
2. Alternative: Tipps auf dem Taschenrechner die Funktion ein. Dann auf shift + solve drücken. Ihr bekommt dann eine „Meldung“ mit “ Solve for X“. Nach diesem Schritt drückt ihr die Alpha + X taste.Fertig!!! Damit könnt ihr auch eure erste Nullstelle herausbekommen.