Aufleiten Regeln
Definition:
Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle xI gilt:, F’(x) = f(x).
Man kann Stammfunktionen als „Mütter oder Väter der Funktion“ bezeichnen und die Ableitung von einer Funktion als „Kinder der Funktion“, sie sind also die „Enkel der Stammfunktionen“. Dieser Vergleich trifft die Situation im „Reich der Funktionen“ aber nicht ganz, denn eine Funktion hat höchstens eine Ableitung, aber unendlich viele Funktionen als Stammfunktionen
→statt „aufleiten“ sagt man meist „integrieren
Aufleitungsregeln
| Funktion f | Stammfunktion F von f mit F(0) = 0 | |
| Potenzregel | f(x) = xr, r≠-1 | F(x) = |
| Faktorregel | f(x) = c∙ g(x)
c ε IR |
F(x) = |
| Summenregel | f(x)= u(x) +v(x) | F(x) = |
| Kettenregel (innere Fkt. ist linear) |
f(x)= u(ax + b) | F(x) = |
Beispiel Potenzregel
Funktion f: f(x) = x4
Stammfunktion F von f mit F(0) = 0 → 1/5 x5
Einige wichtige Aufleitungen die du auswendig lernen solltest
sin(x) → −cos(x) → −sin(x) → cos(x) → sin(x)
tan(x) → −ln(cos(x))
cot(x) → ln(sin(x))
sinh(x) → cosh(x)
coth(x) → ln(sinh(x))
tanh(x) → ln(cosh(x))
arcsin(x) → √ 1 − x2 + xarcsin(x)
arccos(x) → xarccos(x) − √ 1 − x2
arcsinh(x) → −√ x2 + 1+xarcsinh(x)
e–x → −e–x → e–x