Ortskurve Extrempunkt
► Eine Ortskurve oder Ortslinie bezeichnet die Funktion,die Hoch- oder Tiefpunkte einer Kurvenschar verbindet.
► Als Ortskurven bezeichnet man den geometrischen Ort aller Punkte, die z.B. Hochpunkte oder Tiefpunkte einer Funktionenschar (= Funktion mit Parameter) sind. Es kann sich aber genausogut um Schnittpunkte, Wendepunkte oder Nullstellen von Scharkurven handeln.
Bestimmung der Extrempunkte
Vorgehensweise.
- 2mal ableiten
- Erste Ableitung gleich Null setzen
- Ergebnis in die zweite Ableitung einsetzen —> überprüfen ob Extremwert überhaupt vorliegt
- X Wert des Hochpunkt bzw. Tiefpunkt in ursprüngliche Formel einsetzen
- nach Parameter umstellen
- Parameter in Y Wert einsetzen
Unser Lernvideo zu : Ortskurve Extrempunkt
Beispiel
Unsere Funktion ist ► f(x) = x2+tx+3
f(x) = x2+tx+3
f´(x) = 2x + t ⇒ 1. Ableitung!
f“(x) = 2 ⇒ 2. Ableitung!
Wir setzen nun die 1. Ableitung gleich Null
f´(x) = 0
2x + t = 0 | -t
2x = -1t I :2
x=-0,5t
f“(-0,5t) ≠ 0 —> Extremwert vorhanden!
►Als nächstes setzen wir den Wert „-0,5“ in die Ausgangsfunktion ein.
-0,5t in f(x) einsetzen
f(-0,5t)= (-0,5t)2 +t*(-0,5t)+ 1
f(-0,5t) = -0,25t2+1
⇒PE= ( -0,5t / -0,25t2+1)
x = -0,5t
t = -2x
Zum Schluss setzen wir den Wert für „t“ → also -0,5 in den Y-Wert ein.
t in y Wert
y = -0,25t2+1
y=-0,25* (-2x)2+1
y=-x2+1 ⇒ Ortskurve!