Kurvenschar berechnen Kurvendiskussion
Eine Kurvenschar ist zunächst nichts anderes als eine normale Funktion, bei der die Ordinate y von der Abszisse x abhängt
Beispiel
Wir wollen nun eine komplette Kurvendiskussion durchführen. Gegeben haben wir folgende Funktion
f(x)=ax3-2
Zuerst bilden wir die Ableitungen
f`(x) = 3ax2
f„(x) = 6ax
f„`(x) = 6a
Der Definitionsbereich ist D(f)= R
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
f(0) = -2 ⇒ f schneidet dei y-Achse in ( 0; -2)
ax3-2 ⇒ x3= 2/a für a ≠0
x = 3√ 2/a
Die Funktion hat an dieser Stelle eine Nullstelle, wenn a nicht 0 ist!
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Symmetrien
f(1) = a13 -2 = a-2
-f(-1) = -(a(-1)3-2) = a+2
f(-1) = (a(-1)3-2) = -a-2
Die Funktion ist weder punktsymmetrisch am Ursprung noch spiegelsymmetrisch zur y-Achse!
Monotonie
f`(x)= 3ax2 ≥ 0 ⇒ a >0 f ist monoton steigend
f`(x)= 3ax2 ≤ 0 ⇒ a <0 f ist monoton fallend
Extrema
1 Fall a≠0
f`(x) = 3ax2 =0 ⇒ x=0
f„(0)= 6a0 = 0
f„`(0)= 6a
Es liegt ein Satellpunkt vor!
2 Fall a=0
Es liegt kein Extremum vor!
Wendestellen
1 Fall a≠0
f hat bei 0 einen Satellpunkt
2 Fall a=0
Es liegt keine Wendestellen (Wendepunkte) vor