Axiome in der Mathematik

Was sind Axiome?

• Axiome sind Aussagen, die weder begründet noch bewiesen werden müssen.Es sind Aussagen die einfach fest gelegt wurden.
• Ein Axiom ist eine unabgeleitete Aussage. Die Wahl eines Axiom ist Willkür.
• Die Mathematik baut auf Axiome auf. Die Axiome wurden so gewählt, dass innerhalb des Axiomensystems logische Schlüsse widerspruchsfrei gezogen werden können. Diese Axiome können nicht bewiesen werden und haben nichts mit Wahrheit zu tun.

1+1=2 ist wahr auf der Basis der unbewiesenen Axiome.

Axiome der Arithmetik
1) 0 ist eine natürliche Zahl (0 Element N)
2) Jeder Nachfolger einer nat. Zahl ist eine nat. Zahl (n Element N => n+1 Element N)
3) 0 ist nicht der Nachfolger einer nat. Zahl. (0!=n+1 für n Element N)
4) Sind die Nachfolger zweier nat. Zahlen gleich, so sind die Zahlen gleich (n+1=m+1 => n=m für n,m Element N)
5) Induktionsprinzip: S(0) und (S(n) => S(n+1)) dann S(n) für alle n Element N

Für die mathematische Axiomensysteme genügen folgenden Bedingungen:

• Axiome sind Grundannahmen, die meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den zu definierenden Begriff resultieren, von deren Gültigkeit man ausgeht und die deshalb auch nicht bewiesen werden müssen.
• Axiome sollen zu keinem Widerspruch führen.
• Weitere gewünschte Eigenschaften des zu definierenden Begriffs sowie alle übrigen Sätze der entsprechenden Theorie sollen aus diesen Festlegungen mit den Regeln der Logik bewiesen werden können.
• Keines der Axiome soll aus den anderen Festlegungen des Axiomensystems hergeleitet werden können.

Beispiel:reelle Zahlen R in der Analysis: der Begriff “reelle Zahlen” bleibt undefiniert, stattdessen wird R durch Axiome charakterisiert (siehe Analysis I):

• Körperaxiome
• Anordnungsaxiome
• Vollständigkeitsaxiom

Alle weiteren Sätze der Analysis werden daraus gefolgert

oder

Ein Widerspruch besteht aus einer Aussage φ und ihrem Negat ¬φ

Beispiele: 5 ist prim, und 5 ist nicht prim  oder 0 ≠ 0

Je zwei Widersprüche sind äquivalent. Man kann also irgendeinen als Repräsentanten nehmen.

Rechenregeln axiome für reelle zahlen beweise dass,

a a+c < b+c

c c+b

Also:

a+c < b+c < d+b

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