Aufleiten einer Funktion
→Bei einem bestimmten Integral ist die Lösung ein einfacher Zahlenwert.
→Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion, eine sogenannte Stammfunktion
→Stammfunktionen sind bis auf Konstanten eindeutig bestimmt – Konstanten werden hier weggelassen
Man kann Stammfunktionen als „Mütter oder Väter der Funktion“ bezeichnen und die Ableitung von einer Funktion als „Kinder der Funktion“, sie sind also die „Enkel der Stammfunktionen“. Dieser Vergleich trifft die Situation im „Reich der Funktionen“ aber nicht ganz, denn eine Funktion hat höchstens eine Ableitung, aber unendlich viele Funktionen als Stammfunktionen
Wichtige Regel
Über Nullstellen darf nicht integriert werden, da Flächen oberhalb der x-Achse in der Rechnung positive Werte bilden, unterhalb der x-Achse aber negative. Liegt eine Nullstelle innerhalb des zu berechnenden Intervalls, muß diese als Zwischenintervallgrenze genommen werden und zweimal integriert werden, d. h. die erste Integration von der unteren Grenze bis zur Nullstelle, die zweite Integration von der Nullstelle bis zur oberen Grenze
Integrationsregel Um die Stammfunktion zu bilden, wird zuerst der Exponent um 1 erhöht, dann dividiert man den Faktor vor dem x durch den erhöhten Exponenten. Bei der Berechnung wird zuerst die obere Intervallgrenze in die Stammfunktion F(x) eingesetzt und der Funktionswert berechnet, danach das gleiche mit der unteren Intervallgrenze. Beide Funktionswerte werden voneinander subtrahiert. Ist das Ergebnis negativ, wird der Betrag gebildet. Die Abkürzung „FE“ steht für Flächeneinheiten. Sind keine Intervallgrenzen angegeben, wird hinter die Stammfunktion die Integrationskonstante „+C“ geschrieben.
Beispiele
Unsere Funktion lautet f(x)= 3* (2x-4)6 . Wir wollen nun Aufleiten
→F(x)= 3/7 * (2x-4)7 * 1/2 (Achtung! die „2“ hinten im Nenner kommt von der Inneren Ableitung)
→ F(x)= 3/14 * (2x-4)7 Lösung
Zum „Aufleiten“ ignoriert man zuerst das Innere der Klammer, man denkt also nur an „3·( )6“.
Die Stammfunktion von 3·( )6 ergibt 3/7 ( )7. Das Innere der Klammer bleibt immer unverändert.
Das Einzige was noch fehlt, ist die innere Ableitung der Klammer „2x–4“, die in den Nenner muss.
Die Ableitung von „2x–4“ ist „2“
Beispiel 2
Funktion f(x)= 3* (5-4x)-3 soll aufgeleitet werden
→Die Aufleitung von 3 ( )-3 ist 3/-2* ( )-2. Das Innere der Klammer bleibt dabei unverändert. Die Innere Ableitung ist „-4“, welche hinten in den Nenner geschrieben wird.
F(x)= 3/-2* ( 5-4x)-2 *1/-4 → 3/8* (5-4x)-2 = 3/ 8*(5-4x)2 Lösung