Kettenregel bei Ableitungen
Die Kettenregel hat ihren Namen daher, dass sie angewendet wird, um zwei oder mehrere miteinander verketteten Funktionen abzuleiten. Die Kettenregel ist
Ausführliche InfosAutor: kirchner
Produktregel bei Ableitungen
Formel Die Produktregel ändert sich nicht wesentlich, wenn man mehr als zwei Faktoren zum Ableiten hat. Wir schreiben nun statt
Ausführliche InfosSummenregel bei Ableitungen
Summenregel Die Formel lautet Bedeutung: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert ►Obwohl
Ausführliche InfosPotenzregel bei Ableitungen
Mit Potenzen drückt man aus, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Die Potenzregeln, auch Potenzgesetze genannt,
Ausführliche InfosUmkehrregel bei Ableitungen
Eine Umkehrfunktion ist die Antwort auf die Frage: „Wie lautet das Argument der Funktion, wenn ich den Funktionswert kenne?“ Sie ist
Ausführliche InfosFaktorregel bei Ableitungen
Faktorregel Formel Bedeutung: Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. Die Faktorregel kannst du immer dann anwenden, wenn dein Faktor
Ausführliche InfosPotenz ableiten
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f(x)=a⋅xn wobei a und n (der Exponent) reelle Zahl sind. Die Ableitung einer Potenzfuntkion mit ganzzahligem
Ausführliche InfosE-Funktion Ableitung
Die Exponentialfunktion rein mathematisch Die Exponentialfunktion ist eine Berechnung nach dem Muster f(x) = ax A muss dabei größer als null
Ausführliche Infoscos x Ableitung
Eigenschaften Cosinusfunktion ►Definitionsberich: D=ℝ ►Wertebereich: W=[−1;1] ►Periode: T=2π ►Symmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse ►Nullstellen: x0=π2+k⋅π , k∈ℤ ►Maxima: max=2k⋅π , k∈ℤ ►Minima: min=(2k+1)⋅π , k∈ℤ Merke: Der Sinus und der Kosinus
Ausführliche InfosSumme ableiten
Bevor wir auf die Ableitungsregel kommen, schauen wir uns einmal den Beweis der Ableitung an. Diese besagt folgendes ►somit haben
Ausführliche InfosDivision von Funktionen ableiten
„Division von Funktionen ableiten“ geht zurück auf den Quotientenregel. Was das genau war und funktioniert, darauf kommen wir später zurück.
Ausführliche InfosWendetangente berechnen
Beispiel Unsere Funktion lautet f(x)= x3 zuerst bilden wir vorweg alle drei Ableitungen f(x)` =3×2 f(x)` `=6x f(x)„`=6 Bevor wir
Ausführliche Infossin x Ableitung
Eigenschaften der Sinusfunktion Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion, ihre Stammfunktion ist die positive Sinusfunktion Monotonieverhalten: Zwischen den
Ausführliche InfosSattelpunkt
Der Sattelpunkt Der Sattelpunkt ist eine Sonderform des Wendepunktes. Er zeichnet sich dadurch aus, dass der Graph beim Sattelpunkt augenscheinlich
Ausführliche InfosWendepunkt berechnen
Wendepunkte Wendepunkte sind besondere Punkte einer Kurve: Sie markieren eine Trendwende. Eine Funktion, die vorher fallend war, ist nach dem
Ausführliche Infoserste und zweite Ableitung
Die erste Ableitung Was ist die erste Ableitung eigentlich? Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion im einem Punkt
Ausführliche InfosTabellarische Übersicht
Hier die wichtigsten Ableitungen der Potenzfunktion, Wurzel, trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktion und Logaritmusfunktionen tabellarisch aufgeführt: Die Ableitung für die quadratische Wurzel
Ausführliche InfosKettenregel zum Ableiten
Besteht die zu untersuchende Funktion aus mehreren zusammengesetzten, ineinander verschachtelten Funktionen, ist bei der Ableitung die Kettenregel anzuwenden. In der
Ausführliche InfosQuotientenregel zum Ableiten
Handelt es sich bei der vorliegenden Funktion um einen Bruch, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner eine
Ausführliche InfosProduktregel zum Ableiten
Besteht die abzuleitende Funktion aus zwei Faktoren, die beide jeweils von x abhängen, so ist nach folgender Formel vorzugehen. Hierbei
Ausführliche InfosSummenregel zum Ableiten
Besteht eine Funktion aus mehreren Termen, so werden diese als einzelne Funktionen betrachtet und können auch einzeln abgeleitet werden. Unser
Ausführliche InfosFaktorregel zum Ableiten
Befindet sich ein Faktor vor der Potenz, der unabhängig von der Variablen x ist, wird dieser in der Ableitung übernommen.
Ausführliche InfosPotenzregel zum Ableiten
Mit der Potenzregel kann man für alle Funktionen der Form f (x) = xn direkt die Ableitung angeben. Der Exponent n ist hierbei eine
Ausführliche InfosParameterform in Koordinatenform
Zuerst wollen wir einmal kläre was eine Parameterform und eine Koordinatenform sind Die Parameterform oder Punktrichtungsform ist eine spezielle Form
Ausführliche InfosBetrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektor kann mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatz berechnet werden. Den Satz des Pythagoras hat jeder schon einmal
Ausführliche InfosVektorrechnung: Addition, Subraktion, Skalarprodukt
Wir befassen uns mit den Rechenarten der Vektoren. Dabei unterscheiden wir zwischen 3 Grundrechenarten. Grundrechenarten der Vektorrechnung Addition Subtraktion Skalarprodukt
Ausführliche InfosEbener Vektor und räumlicher Vektor
Vektoralgebra Wir befassen uns mit dem Thema Vektoralgebra. Dabei unterscheiden wir zwischen dem Ebenen Vektor und dem räumlichen Vektor. Was
Ausführliche InfosSpatprodukt
Wir befassen uns mit dem Thema Spatprodukt! Aber was ist eigentlich das Spatprodukt? Bevor wir das ganze mit einem Beispiel
Ausführliche InfosLineare Abhängigkeit 3 Vektoren
Eigenschaften der Vektoren im R3 ♦2 Vektoren sind im R3 genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind ♦3 Vektoren sind
Ausführliche InfosLineare Abhängigkeit 2 Vektoren
Linear abhängig im 2D-Raum sind ● Zwei kollineare Vektoren (ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen) ● Drei oder mehr
Ausführliche InfosKoordinatengleichung zu Parametergleichung
Parametergleichung Die Ebene wird eindeutig durch 3 kolineare Punkte P1,P2,P3 definiert Die Parametergleichung besteht aus einem Festpunkt und zwei Richtungsvektoren ,welche die Ebene
Ausführliche InfosParametergleichung zu Koordinatengleichung
Parametergleichung Die Ebene wird eindeutig durch 3 kolineare Punkte P1,P2,P3 definiert Die Parametergleichung besteht aus einem Festpunkt und zwei Richtungsvektoren ,welche die
Ausführliche InfosHessesche Normalform
Hessesche Normalform einer Geraden (nur im R2 möglich!) Bedeutung n: Normalenvektor . Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der
Ausführliche InfosSchnittwinkel zweier Geraden
Der Schnittwinkel zweier Geraden ist immer der kleinere der beiden Winkel, welchen die Geraden miteinander bilden. Es gilt: 0°< φ ≤ 90°
Ausführliche InfosSchnittpunkt zweier Geraden
♦Zwei Geraden haben entweder genau einen Schnittpunkt, oder keinen (in der Ebene wären sie dann parallel, in mehr als zwei
Ausführliche InfosAbstand paralleler Geraden
♦Unter dem Abstand zweier paralleler Geraden versteht man die Länge der Verbindungsstrecken der beiden Geraden, die zu den beiden Geraden
Ausführliche InfosPunktrichtungsgleichung
Die allgemeine Formel lautet y-y1 = m (x-x1) Bemerkung: Weder der Stütz- noch der Richtungsvektor einer Geraden in Parameterform sind eindeutig
Ausführliche InfosMittelpunkt einer Strecke
Vorstellung Der Mittelpunkt einer Strecke teilt diese genau in zwei gleichlange Hälften. Du bestimmst ihn, indem du die Mittelsenkrechte zeichnest. Wenn
Ausführliche InfosKomplanarität eines Vektors
♦Die Komplanarität von drei Vektoren bezieht sich auf die Lage zueinander bzw. in den Ebenen. ♦Komplanarität bezeichnet drei Vektoren, die
Ausführliche InfosKollinearität eines Vektors
In der linearen Algebra bedeutet Kollinearität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension1 hat. Falls nur
Ausführliche InfosParallelität eines Vektors
Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn man eine Linearkombination von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial
Ausführliche Infos3D Koordinatensystem im Raum
Wenn wir uns nicht nur in der Länge und Breite, sondern auch in der Höhe bewegen können, brauchen wir noch
Ausführliche InfosAbstand von Punkt zu Ebene
Die einfachste Methode zur Bestimmung des Abstands eines Punkts zu einer Ebene lässt dich dann durchführen, wenn die Ebene in
Ausführliche InfosAbstand von Punkt zu Gerade
Ist nach dem Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gefragt, so sucht man immer die kürzeste Verbindung zwischen beiden.
Ausführliche InfosAbstand zweier Punkte
Will man den Abstand zwischen zwei Punkten bestimmen, so betrachtet man diese Punkte zunächst als Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks und
Ausführliche InfosLagebeziehung zweier Geraden
Es gibt mehrere Möglichkeiten wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können. Wir zählen diese zunächst einmal auf und erläutern
Ausführliche InfosGeraden im Raum
Die Beschreibung einer Geraden ähnelt einer Ebene in Parameterform. Eine Gerade sieht folgendermaßen aus: Deutlicher wird das Ganze wenn wir
Ausführliche InfosUmrechnung Normalenform – Koordinatenform
Normalenform zur Koordinatenform Um von der Normalenform zur Koordinatenform zu kommen muss man lediglich die Normalenform ausmultiplizieren. Das Ausmultiplizieren von
Ausführliche InfosUmrechnung Koordinatenform – Parameterform
Von Koordinatenform zur Parameterform Um von der Koordinatenform zu der Parameterform zu kommen, müssen wir uns am besten 3 Punkte
Ausführliche InfosUmrechnung Parameterform – Normalenform
Parameterform in Normalenform Um von der Parameterform zu der Normalenform zu gelangen, benötigt man nur den Normalenvektor der Ebene. Der
Ausführliche InfosDarstellungsformen für Ebenen
Es gibt drei gängige Darstellungsformen für Ebenen. Die Parameterform Die Koordinatenform Die Normalenform Bisher haben wir die Parameterform kennengelernt. Deshalb
Ausführliche InfosNormalenvektor einer Ebene
Die Normale einer Ebene ist ein Vektor, welcher senkrechte auf der Ebene steht. Er wird üblicherweise mit dem Buchstaben n
Ausführliche InfosEbenen
Eine Ebene ist im mathematischen Sinne ein flaches, ebenes Objekt. Die Ebene selbst hat dabei nur zwei Dimensionen, kann sich
Ausführliche InfosSkalarprodukt
Das Skalarprodukt ist wie die Subtraktion oder die Addition ein weiterer Operator für Vektoren. Das Skalarprodukt wird in einigen Fällen
Ausführliche InfosEinheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge eins. Er wird berechnet indem man den Vektor durch seine eigene Länge
Ausführliche InfosBetrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an. 2D Vektoren Bei zwei dimensionalen Vektoren kann die Länge sehr einfach berechnet
Ausführliche InfosLineare Abhängigkeit
Vektoren sind linear Abhängig wenn sich ein Vektor durch die Kombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Zwei Vektoren sind linear
Ausführliche InfosKreuzprodukt – Vektorprodukt
Das Kreuzprodukt (oder auch Vektorprodukt) wird folgendermaßen berechnet: Das Zeichen für das Kreuzprodukt ist ein x. Nicht zu verwechseln ist
Ausführliche InfosMultiplikation mit einer Zahl
Häufig kommt es vor, dass ein Vektor mit einer Zahl multipliziert werden muss. Dafür muss man einfach jede Komponente des
Ausführliche InfosSubtrahieren von Vektoren
Im Prinzip funktioniert das Subtrahieren von Vektoren genauso wie das Addieren von Vektoren. Wir subtrahieren die Koordinaten einzeln und erhalten
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