fallende Monotonie
Falende Monotonie
►Liegt nun ein Graph einer Funktion vor, so kann man eindeutig sehen, ob die Funktion streng monoton steigt oder streng monoton fällt. Hierbei schaut man sich die Funktion von links beginnend nach rechts hin an. Hierbei ist Folgendes Gedankenbeispiel hilfreich: Man denkt einfach, man fährt mit einem Fahrrad den dargestellten Graphen von links nach recht ab. Da, wo der Graph „bergab geht“, da ist die Funktion (streng) monoton fallend. Da, wo die der Graph „bergauf geht“, da ist die Funktion (streng) monoton steigend. „Fährt“ man hingegen an Stellen des Graphen „geradeaus“, dann weist die Funktion hier keine Steigung auf.
Unser Lernvideo zu : fallende Monotonie
Um die genannte Definition zu verstehen, ist es am besten, an Beispielen die Monotonie von Zahlenfolgen zu untersuchen
Monotonie bei Zahlenfolgen
►Eine streng monoton steigende Zahlenfolge ist: 2, 3, 5, 8, 10, 20
Es gilt, dass jedes Folgeglied größer ist als das vorige: 2 < 3 < 5 < 8 < 10 < 20
►Eine monoton steigende Zahlenfolge ist: 3, 5, 5, 5, 20, 110
Es gilt, dass jedes Folgeglied größer gleich dem vorigen ist: 3 < 5 = 5 = 5 < 20 < 110
►Eine streng monoton fallende Zahlenfolge ist: 20, 10, 8, 5, 3, 2
Es gilt, dass jedes Folgeglied kleiner ist als das vorige: 20 > 10 > 8 > 5 > 3 > 2
►Eine monoton fallende Zahlenfolge ist: 110, 20, 5, 5, 5, 3
Es gilt, dass jedes Folgeglied kleiner gleich dem vorigen ist: 110 > 20 > 5 = 5 = 5 > 3
♦monoton steigend / monoton fallend.
Ist hingegen anstatt f(x1) < f(x2) bzw. f(x1) > f(x2) es so, dass f(x1) ≤ f(x2) bzw. f(x1) ≥ f(x2) ist, dann sagt man: Die Funktion f ist monoton steigend bzw. fallend innerhalb des Intervalls I.
- Wenn f`(x)≥0 f′(x) ≥ 0 für alle x-Werte, ist die Funktion monoton steigend.
- Wenn f`(x)≤0 f′(x) ≤ 0 für alle x-Werte, ist die Funktion monoton fallend.
Wie berechnet man die Monotonie?
Mit der Vorgehensweise könnt Ihr das Monotonieverhalten einer Funktion leicht bestimmen.
►Die Vorgehensweise ist wie folgt
►Zuerst die erste Ableitung bilden
►dann die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
►danach die Zweite Ableitung bilden
►jetzt die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen
►und die Intervalle benennen