Gleichungen umformen

Beispiel 1: Gleichungen umformen

Wir kennen das Umformen von Gleichungen schon aus der Grundschule. Den meisten ist nur nicht bewusst, dass sie auch dort schon Gleichungen umgeformt haben. Hier ein Beispiel:

Diese oder ähnliche Rechnungen löst man in der Grundschule. Man kann dies auch so schreiben:

Das x ist dabei eine variable die theoretisch jede beliebige Zahl annehmen kann. In diesem Beispiel gibt es aber natürlich nur eine passende Zahl. Wir können die Gleichung nun umformen. Dieses nennt man Äquivalenzumformung. Das Wort bedeutet, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung die Gleiche Umformung vornehmen.

Wir wollen das x berechnen. Deshalb ist das Ziel, dass dieses alleine auf einer Seite steht. Die Gleichung soll also mit „x =“ anfangen oder mit „= x“ aufhören. Dazu müssen wir die 4 auf die andere Seite des Gleichzeichens bringen. Dies machen wir, indem wir auf beiden Seiten -4 rechnen. Als Symbol das wir auf beiden Seiten -4 rechnen, schreiben wir -4 hinter einen senkrechten Strich hinter die Ausgangsgleichung. Das Ganze sieht dann so aus:

Wir haben also zunächst auf beiden Seiten 4 abgezogen. Diese haben wir am Ende notiert und im nächsten Schritt zusammengefasst. Links hat sich 4 und -4 gegeneinander aufgehoben. Rechts wurde aus 7 und -4 eine 3. Das Ergebnis ist damit x = 3. Wir setzen für x also 3 in die Ausgangsgleichung ein:

Natürlich ist dieses Beispiel relativ einfach. Es zeigt aber das Prinzip.

Beispiel 2: Gleichungen umformen

Hier ein weiteres Beispiel welches wir später bei den linearen Funktionen brauchen werden:

Die Ausgangsituation ist ähnlich, jedoch haben wir links nun noch einen Faktor vor dem x. wir möchten wieder, dass das x auf der linken Seite alleine steht. Wir müssen also die 4 und die 6 auf die andere Seite bringen. Nun müssen wir entscheiden, was wir als erstes tun. Wir könnten zum Beispiel als erstes durch 4 teilen um den Faktor vor dem x auf die andere Seite zu bekommen. Wir werden allerdings sehen, dass dies nicht der geschickteste Weg ist.

Hier ergibt sich ein Problem. Dadurch, dass wir durch 4 teilen, müssen wir natürlich auf beiden Seiten durch 4 teilen. Wegen der Punkt- vor Strichrechnung müssen wir links zunächst Klammern setzen, da wir ja die gesamte linke Seite durch 4 teilen müssen. Anschließend können wir diese Klammer wieder durch die Anwendung des erweiterten Distributivgesetzes auflösen. Am Ende kommen wir auf die Lösung x = 3.

Wir hätten natürlich auch zunächst minus 6 rechnen können. Dies ist wie wir sehen deutlich einfacher:

Hier sind die einzelnen Rechnungen deutlich einfacher und wir kommen schneller zum Ergebnis. Es ist also sinnvoll vorher zu überlegen wie man am besten vorgeht. In den meisten Fällen ist es sinnvoll zuerst die Strichrechnung durchzuführen und anschließend die Punktrechnung. Natürlich kommt man aber in allen Fällen auf dasselbe Ergebnis!

Das Ergebnis setzen wir noch einmal zur Kontrolle in die Ausgangsgleichung ein:

Wir sehen, dass unser Ergebnis richtig ist. Es kommt auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis heraus.