Klammern
Das Ausklammern und Auflösen von Klammern sind zwei gegensätzliche Vorgänge. Um das Ausklammern verstehen zu können, sollte zunächst das Auflösen von Klammern beherrscht sein.
Auflösen von Klammern
Um eine Klammer aufzulösen, müssen wir den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden innerhalb der Klammer einzeln multiplizieren. Mit jedem Plus- oder Minuszeichen beginnt ein neuer Summand. Steht vor dem ersten Summanden in der Klammer kein Vorzeichen, so kann man sich hier ein Pluszeichen denken.
Allgemeines Beispiel
Das klingt in Worten komplizierter als es eigentlich ist, deshalb hier ein Beispiel mit Variablen.
Wir multiplizieren also unseren Faktor k jeweils mit allen Summanden (+a), (+b) sowie (-c) und erhalten folgendes Ergebnis.
Konkretes Beispiel
Mit Zahlen sieht das Vorgehen dann so aus:
Man stößt des Öfteren auf ein negatives Vorzeichen vor der Klammer bzw. die Klammer wird von etwas abgezogen. Das Minuszeichen ist dann einfach als Faktor -1 zu behandeln und alle Summanden in der Klammer ändern ihr Vorzeichen. Hier ein Beispiel mit Zahlen und Variablen:
Unser Lernvideo zu : Klammern
Das Vorzeichen eines Produkts ist von seinen Faktoren abhängig. Einfacher ausgedrückt ist das Ergebnis einer Multiplikation davon abhängig, wie die Vorzeichen der Zahlen sind, die man miteinander malnimmt. Man kann sich generell merken, dass gleiche Vorzeichen ein positives Ergebnis bewirken und unterschiedliche Vorzeichen ein negatives Ergebnis hervorrufen. Dies soll folgende Übersicht nochmals verdeutlichen:
Ausklammern
Nun möchten wir genau das Gegenteil bewirken und Zahlen oder Variablen ausklammern, was auch faktorisieren genannt wird. Dies ist oft hilfreich, um Rechnungwege zu vereinfachen oder etwas kürzer zu fassen. Es bietet sich immer dann an auszuklammern, wenn alle Summanden einen gemeinsamen Teiler haben oder die gleiche Variable enthalten.
Beispiel – Zahl ausklammern
Folgender Ausdruck soll durch Ausklammern vereinfacht werden.
Da in den Summanden unterschiedliche Variablen auftauchen, bleibt nur die Möglichkeit, eine Zahl auszuklammern. Wir schauen uns also die 8, 2 und 10 an. Sie haben alle die 2 als gemeinsamen Teiler, weswegen wir hier 2 ausklammern können und folgendes Ergebnis erhalten:
Probe
Zur Kontrolle können wir zusätzlich noch den umgekehrten Weg gehen und die Klammer wieder auflösen.
Wir erhalten wieder unsere Ausgangsklammer und somit ist unser Ergebnis richtig.
Beispiel – Variable ausklammern
Folgender Ausdruck soll durch Ausklammern vereinfacht werden.
Wir sehen, dass alle Summanden mindestens ein x enthalten. Es bietet sich somit an diese Variable auszuklammern und wir erhalten folgendes Ergebnis.
Bei den Potenzen wird der Exponent also jeweils um 1 vermindert. Das x, was alleine steht, wird zu 1.
Probe
Wir kontrollieren erneut, ob der umgekehrte Weg wieder zu unserer Ausgangssituation führt.
Beispiel – Variable und Zahl ausklammern
Folgender Ausdruck soll durch Ausklammern vereinfacht werden.
Jeder Summand in der Klammer enthält sowohl die Variable z als auch ein Vielfaches von 5. Wir klammern also 5z aus und erhalten:
Probe
Wir kontrollieren wieder, ob uns das Auflösen der Klammer zum Anfang führt.
