Trigonometrie

Welche Themenfelder umfasst die Trigonometrie in der 10. Klasse?

In dieser und in den höheren Klassenstufen beschäftigen sich Schüler mit den Themen:

• Sinus, Tangens, Kosinus und deren Beziehungen zueinander,
• Berechnung unbekannter Seiten,
• Ermittlung unbekannter Winkel,
• Sinus- oder Kosinus-Funktion und Einheitskreis,
• Allgemeiner Sinussatz,
• Bogenmaß und Gradmaß,
• Allgemeiner Kosinussatz,
• Kosinus- und Sinusfunktion mit Pi,
• Stauchung und Streckung der Sinusfunktion,
• Kreissektor,
• periodische Funktion,
• Additionstheoreme.

In den jeweiligen Unterkategorien der Trigonometrie auf dieser Seite finden Interessierte wichtige Hinweise zur Ermittlung und zu den Grundlagen der Dreiecksberechnung. Zunächst stellen wir Schülern diesen Teilbereich der Geometrie näher vor, erklären dessen Bedeutung und geschichtliche Entwicklung.

Was ist Trigonometrie?

Um sich mit diesem Themenfeld der Mathematik zu beschäftigen, eignet sich im Vorfeld die Betrachtung des Wortes Trigonometrie. Es besteht aus drei Wortteilen. Dabei bedeutet „tri“ drei. Ein Beispiel für die Vorsilbe wäre Triathlon, der Mehrkampf in drei Disziplinen. Der Mittelteil des Wortes „gon“ bedeutet übersetzt Eck oder Winkel. Hier bietet sich das Beispiel Pentagon an. Dabei handelt es sich um ein Fünfeck, welches über fünf Winkel verfügt. Die Wortendung „metrie“ trägt die Bedeutung Messung. Das Wort Geometrie bedeutet demnach Erdmessung.

Trigonometrie heißt demnach streng genommen Dreiwinkelmessung. In der Mathematik nennen Anwender dieses Themenfeld Dreiecksberechnung. Dieser Teilbereich der Geometrie liefert rechnerisch exaktere Ergebnisse als die Konstruktion mithilfe der Planimetrie. Neben ebener Trigonometrie (zweidimensional) gibt es ebenso eine sphärische (dreidimensionale) und eine hyperbolische Trigonometrie (auf hyperbolischer Ebene). In der Klasse zehn befassen sich Schüler zunächst mit der ebenen Variante. Hier bestehen die Aufgaben oftmals darin, aus drei spezifischen Größen eines Dreiecks die fehlenden Größen zu berechnen. Zur Ermittlung von Winkelgrößen und Seitenlängen stehen die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) bereit. Zu diesen zählen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan).

Strahlensätze als Basis zur Berechnung trigonometrischer Funktionen

Als Grundlage für das Erlernen der Trigonometrie dienen die aus vergangenen Mathematikstunden bekannten Strahlensätze. Sie benötigen diese, um Beziehungen und Verhältnisse zwischen Strecken auszudrücken, um genau zu sein, zwischen Kathete, Ankathete und Hypotenuse. Um sich dem Feld der Trigonometrie zu nähern, bietet es sich an, die Strahlensätze zu wiederholen, bevor ein Einstieg in das neue Gebiet erfolgt. Die Beziehungen zwischen den Seiten und die daraus resultierenden Winkel sind essenziell zur Berechnung fehlender Seiten und Winkel mittels Kosinus, Tangens und Sinus.

Anwendung der Trigonometrie

Kosinus, Sinus und Tangens eignen sich, um die Winkel in einem Dreieck auszurechnen. In der Naturwissenschaft oder im technischen Bereich nutzen Wissenschaftler und Hersteller diese oftmals. Ebenso finden sie Anwendung in der Schwingungslehre. Hier kommen Kotangens und Sinus-Funktion zum Einsatz. Mathematiker nutzen diese Formeln, um naturwissenschaftliche oder technische Vorgänge zu beschreiben. Die Spannung in der Steckdose entsteht beispielsweise auf der Grundlage einer Sinus-Funktion. Weiterhin findet die Trigonometrie Anwendung bei Dachdeckern, bei Höhen- und Landvermessungen in der Astronomie als sphärische Trigonometrie, bei der Navigation (GPS) und in der Physik bei akustischen Wellen und Pendelschwingungen.

Ebenso findet die Dreiecksberechnung in der Akustik, im Tiefbau, in der Architektur, in der Astronomie, in der Geophysik und Kartografie statt. Die Formeln verwenden Wissenschaftler darüber hinaus in der Kristallografie, Elektronik, Geodäsie, Elektrotechnik, in viele Naturwissenschaften, im Maschinenbau, in der Verarbeitung sowie in der medizinischen Bildgebung. Weiterhin findet die Trigonometrie Anwendung in der: Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Pharmakologie, Seismologie, Ozeanografie und Optik. Visuelle Wahrnehmung und Statistiken arbeiten ebenfalls mit diesen Berechnungen.

Die Geschichte der Trigonometrie

Die ersten Vorläufer dieses Teilgebietes der Geometrie gab es in der griechischen Antike. Aristarchos von Samos verwendete die Berechnungen rechtwinkliger Dreiecke zur Ermittlung der Entfernung zwischen Sonne und Erde sowie Mond und Erde. Die Astronomen Ptolemäus und Hipparch (ca. 140 n. Chr.) arbeiteten mit Sehnentafeln. Dabei handelt es sich um Tabellen mit deren Hilfe sie die Mittelpunktswinkel in Sehnenlängen umrechneten. Die darin verzeichneten Werte hängen mit der Funktion des Sinus zusammen.

In Indien verwendeten Mathematiker ähnliche Tabellen. Arabische Wissenschaftler nutzten die Ergebnisse der Inder und Griechen zum Ausbau der sphärischen Trigonometrie. Al Battani nutzte einen Seitenkosinussatz für Berechnungen am sphärischen Dreieck. Nasīr ad-Dīn Tūsī baute im 12. Jahrhundert die sphärische und ebene Trigonometrie aus. Die Ergebnisse der Arbeiten verbreiteten sich im späten Mittelalter in Europa.

Im 15. Jahrhundert erfolgte die systemische Darstellung. In der Renaissance nutzten Wissenschaftler die Erkenntnisse, um die Hochseeschifffahrt und die Ballistik zu optimieren. Der deutsche Mathematiker und Astronom Johann Müller verfasst im 14. Jahrhundert unter dem Pseudonym Regiomontanus erstmals ein fünfbändiges Werk. In diesem fasste er Methoden und Lehrsätze der sphärischen und ebenen Trigonometrie zusammen. Er beschränkte sich auf Sinus-Berechnungen und legte dafür eine Sinuswerttabelle an.

Den Begriff „Trigonometrie“ gibt es seit 1595. Bartholomäus führte ihn ein. Wichtig für die trigonometrischen Berechnungen war die Erfindung von Logarithmen und die Triangulierung. Seit dem 16. Jahrhundert diente Letztere der Landvermessung.

Analytische Darstellungen und die gebräuchliche Schreibweise stammen vom Schweizer Physiker und Mathematiker Leonhard Euler aus dem 17. Jahrhundert.

Carl Friedrich Gauß erweiterte den Dreiecksbegriff im Eulerschen Dreieck. Friedrich Wilhelm Bessel und Gauß modernisierten die praktische Trigonometrie durch ausgebildete Rechnungsweise. Eduard Study fasste schließlich die sphärische Trigonometrie als Gruppentheorie zusammen.

Übungen verbessern die mathematischen Fähigkeiten

Wie bereits erwähnt, dienen die Strahlensätze als Grundlage für weitere Berechnungen in der Trigonometrie. Wir bieten Schülern und Eltern eine umfassende Übersicht über den Teilbereich der Geometrie und zahlreiche Anwendungsbeispiele. Textaufgaben erhöhen das Verständnis. Zusätzlich offerieren wir verschiedene Lernvideos, um Berechnungen näher zu erklären. Nur wenn Kinder ihr Vorgehen verstehen, erlernen sie mathematisches Wissen und wenden dieses im Schulalltag richtig an. Regelmäßige Übungen in der Schule und zu Hause verbessern die Lernkurve.