Mengenlehre

Geschichtliche Hintergründe der Mengenlehre

Georg Cantor verwendete nicht von Anfang an den Begriff „Menge“. Im 19. Jahrhundert etablierten sich weitere Namen wie Gesamtheit, Mannigfaltigkeit, Inbegriff, Klasse und Varietät. Heute sind diese nicht mehr im Gebrauch. Die Beschreibung bleibt bis heute die beste Definition, wobei sich Cantor nicht nur dem Begriff der Menge widmete, sondern die gesamte Theorie von der Mengenlehre begründete.

Er entwickelte die Definition der Größe oder Mächtigkeit der unendlichen Mengen und entdeckte bei den reellen Zahlen deren Überabzählbarkeit sowie das Kontinuumsproblem. Der Mathematiker Richard Dedekind entwickelte 1872 die mengentheoretische Konstruktion von reellen Zahlen und formulierte das Extensionalitätsaxiom. Giuseppe Peano erfand eine mengentheoretisch exakte Sprache und war somit Begründer der heutigen Formelsprache in der Mengenlehre.

Im 20. Jahrhundert setzte sich zunehmend die Axiomatisierung der Mengenlehre durch. Sie überwand vorherrschende Widersprüche in den mathematischen Berechnungen und gründet auf Ernst Zermelos Axiomensystem. Zusammen mit Abraham Adolf Fraenkel entwickelte er die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Heute gilt diese als Grundlage verschiedener mathematischer Zweige. Sie ist bekannt unter dem Namen ZF, mit Auswahlaxiom unter ZFC. Mit dieser Mengenlehre berechnen Interessierte jede Form von mathematischen Objekten.

Definitionen in der Mengenlehre

Im Folgenden veranschaulichen wir die Grundbegriffe wie Schnitt-, Komplementär-, Differenz-, Potenz-, Vereinigungs- und Teilmenge. Dazu kehren wir zurück zu der am Anfang erwähnten Begrifflichkeit einer Menge von Cantor. Sie eignet sich dazu, diese mathematischen Formeln für Einsteiger und Schüler zu erläutern. In der heutigen Mathematik gelten diese nicht mehr als korrekt.

Axiomensysteme von Zermelos und Fraenkel sind weitaus komplexer und exakter. Höhere Semester an Universitäten beschäftigen sich bevorzugt mit diesen Rechenoperationen, um Mengen zu bestimmen. In den jeweiligen Unterkategorien dieser Seite finden Interessierte weiterführende Informationen dazu.

Beschreibung einer Menge

Nach Cantor ist eine Menge ein Zusammenschluss von verschiedenen Objekten zu einem weiteren Objekt, welches aus allen zusammengeschlossenen Objekten besteht. Um eine Menge zu beschreiben, bietet sich folgendes Beispiel: M = {1, 9, 12}. Die Menge M besteht aus natürlichen Zahlen, um genau zu sein aus 1, 9 und 12. Diese Zahlen sind Elemente der Menge. Mithilfe der Formelsprache drücken Mathematiker aus, ob eine Zahl Teil einer Menge ist oder nicht.

Mathematisch ausgedrückt bedeutet 1 ∈ M, dass die 1 ein Element von der Menge M ist. Letztere beinhaltet drei Elemente, die 1, die 9 und die 12. Je nach Anzahl der Elemente äußert sich deren Mächtigkeit. In diesem Beispiel besitzt die angegebene Menge M eine Mächtigkeit von 3. Nehmen wir an, es stünden fünf Zahlen in den Klammern wie M = {0, 9, 12, 15,19}, dann wäre die Mächtigkeit 5. Für die Angabe dieser existiert ebenso der Begriff Ordnung, die als Synonym gilt.

Die leere Menge

Fassen Mathematiker keine, also 0 Objekte, zusammen, ist das ebenfalls eine Menge. In Fachkreisen die sogenannte leere Menge. In Formelsprache ausgedrückt ∅ oder {}. Eine Menge M9 von Wochen mit 9 Tagen beschreibt eine solche leere Menge. Dieses Beispiel zeigt, dass mit deren Hilfe nicht nur Elemente aufzählbar sind, sondern diese ebenso deren Eigenschaften beschreibt. So lautet der mathematische Satz:

M9 = {x | x ist eine Woche mit 9 Tagen}.

Versprachlicht bedeutet das „M9 ist die Menge von allen x, für welche gilt: x ist eine Woche mit 9 Tagen“.

Die Gleichheit der Mengen

Um auszudrücken, dass zwei Mengen gleich heißen, da sie die gleichen Elemente besitzen, gibt es folgende Formel:

A = B: ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Übersetzt bedeutet diese Folgendes:

A ist gleich B, wenn für die Werte x gilt: x ist ein Element von Menge A, wenn es Element von Menge B ist.
Umgekehrt funktioniert diese Formel ebenso. Erfolgt eine Aufzählung der Mengenelemente, sehen Mathematiker sofort, ob die Mengen sich gleichen. Die Reihenfolge bleibt beliebig. Bei der folgenden Formel handelt es sich um gleiche Mengen:

A = {0, 9, 12, 15, 19} = {19, 15, 12, 9, 0}.

Unerheblich ist, wie oft das Element darin auftaucht, wie im folgenden Beispiel: {2,2,4,4,4,4,5,5} = {2,4,5}.

Teilmengen in der Mathematik

Eine Teilmenge A von einer Menge B stellt sich als Formel wie folgt dar:

A ⊆ B.

Die Elemente der Menge A sind ebenso Elemente der Menge B. B gilt als Obermenge der Variablen A. Die Schreibung lautet:

B ⊇ A.

Konkret stellt sich deren Beziehung in der Formel

A ⊆ B: ⇔∀x (x ∈ A⇒x ∈ B)

dar. Bei ungleichen Mengen A und B entstehen echte Teilmengen. Die Menge der Meerschweinchen ist demnach die echte Teilmenge der Menge an Tieren, so wie die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Bruchzahlen darstellt. Weitere Informationen zur Mengenlehre erhalten Interessierte in der jeweiligen Unterkategorie.

Schnittmenge

Der Durchschnitt von mehreren Mengen definiert die Schnittmenge. Sie ist die Zusammenkunft aller Elemente der Menge, die darin enthalten sind. Die Formel dazu finden Interessierte hier:

A ∩ B: = {x | x ∈ A oder x ∈ B}.

Vereinigungsmenge

Vereinigen sich diverse Mengen, so enthält die entstandene Menge alle Elemente von mindestens einer Menge davon. Die folgende Formel beschreibt die Vereinigungsmenge:

A ∪ B: = {x | x ∈ A oder x ∈ B}.

Komplementär- und Differenzmenge

In der Mengenlehre kommen ebenso Differenz- oder Komplementärmengen vor. Die Differenz von zwei Mengen A und B bezeichnet beispielsweise alle Elemente aus der Menge A, die Menge B nicht enthält. Bei einer leeren Schnittmenge geht man davon aus, dass die Differenz aus Menge A und Menge B denselben Wert wie A ergibt, also

A: B gleich A. Laut Formel also:
A∖B: = {x | x ∈ A oder x ∉ B}.

Die Komplementärmenge ergibt sich aus allen Werten x, welche sich nicht in der Menge befinden:

ĀB: = {x | x ∈ B oder x ∉ A}.

Potenzmenge

Eine Potenzmenge von einer Menge enthält jegliche Teilmengen einer Menge der angezeigten Menge. Die folgende Potenzmenge für P von 3 ,4 und 5 lautet:

P ({3,4,5}) = {{}, {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}}.

Die Potenzmenge besagt, dass eine Menge n Elemente enthält, die 2n Teilmengen besitzt. In diesem Beispiel 23 also 8 Elemente