Natürliche Zahlen

Die Bedeutung der Null

In der Regel wird die Null den natürlichen Zahlen zugeordet. Hierbei ist zu beachten, dass sie weder positiv noch negativ anzusehen ist.

Gerade und ungerade Zahlen (Parität)

Die natürlichen Zalen können weiter unterschieden werden. Zum einen gibt es die natürlichen geraden Zahlen, welche durch 2 teilbar sind. Das sind die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8… Dementsprechend existieren noch die natürlichen ungeraden Zahlen, welche nicht durch 2 teilbar sind. Dies umfasst die Zahlen 1, 3, 5, 7, 9… Die Eigenschaft einer Zahl, gerade oder ungerade zu sein, wird Parität genannt.

Wie werden natürliche Zahlen noch genannt?

Alle natürliche Zahlen sind ganze Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen kann außerdem den rationalen und reellen Zahlen zugeordnet werden.

Wissenswertes rund um Natürliche Zahlen

Bei den natürlichen Zahlen handelt es sich um sämtliche positive Ziffern, die ohne eine Kommastelle erscheinen. In der Mathematik heißen sie deshalb auch ganze Zahlen. Lange Zeit galt die Null nicht als natürliche Zahl, was jedoch im 13. Jahrhundert revidiert wurde.

Um die Menge der Zahlenreihe zu beschreiben, benutzen die Mathematiker den Buchstaben N. Im Regelfall gehört die Null zu den natürlichen Zahlen, sofern die Definition „nicht negativ“ Verwendung findet. Sie stellt die Grenze zwischen den positiven und den negativen Zahlen dar.

Wie unterscheiden sich natürliche Zahlen?

Bei den positiven Ziffern existieren diverse Unterschiede. Beispielsweise gibt es die geraden und die ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft heißt in der Fachsprache Parität. Alle geraden Zahlen lassen sich ohne Schwierigkeiten durch zwei teilen.

Als Quotient ergibt sich ebenfalls eine natürliche Ziffer. Zu ihnen zählen beispielsweise zwei, vier, sechs und acht. Das Gegenteil bilden die natürlichen, ungeraden Zahlen, die durch zwei dividiert einen Quotienten mit Kommastelle ergeben.

Was stellen die Primzahlen dar?

Zu den natürlichen Zahlen gehören weiterhin die Primzahlen. Sie zeichnen sich ebenfalls durch charakteristische Eigenschaften aus. Ihr Wert liegt über eins und sie lassen sich nur durch eins und sich selbst teilen.

Demnach besitzen die Primzahlen ausschließlich zwei Teiler. Zu den Ziffern, welche über die Eigenheit verfügen, gehört beispielsweise die Elf. Die natürlichen Zahlen erhalten die Bezeichnung prim, wenn die Besonderheiten auf sie zu treffen. Geschieht das nicht, stellen sie zusammengesetzte Ziffern dar.

Dabei gelten Null und Eins weder als prim, noch als zusammengesetzt. Das Wort „Primzahl“ leitet sich vom Lateinischen numerus primus ab. Übersetzt heißt es „die erste Zahl“. Als Abkürzung steht in der Mathematik der Buchstabe P im Mittelpunkt.

Im Unterricht lernen die Kinder die Definitionen, die mit den Primzahlen einhergehen. Hierbei spielt beispielsweise die Primfaktorzerlegung eine wesentliche Rolle. Sie besagt:
Natürliche Zahlen über Eins, die keine Primzahlen darstellen, zeigen sich als Produkt von zwei Primzahlen;
das Produkt von zwei natürlichen Ziffern erweist sich durch eine Primzahl teilbar, sofern ein Faktor ebenfalls diese Eigenschaft besitzt;

Primzahlen entstehen nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, deren Wert über Eins liegt.

Vorrangig benötigen die Schüler die Regeln, wenn sie Algebra lernen. Hierbei hilft es, die der natürlichen Ziffern zu verinnerlichen, um Schwierigkeiten beim Bewältigen der Aufgaben zu vermeiden. Neben der Primfaktorzerlegung spielen auch die Teilbarkeitsregeln eine bedeutende Rolle.

Die Relevanz der Teilbarkeitsregeln

Zu den wichtigen Teilbarkeitsregeln zählt die Teilbarkeit durch Zwei. Sie existiert ausschließlich bei geraden Zahlen. Versuchen die Lernenden beispielsweise die Zahl 13 in zwei gleichgroße Hälften zu teilen, entsteht das Ergebnis 6,5. Dieses zählt nicht zu den natürlichen Zahlen. Die Teilbarkeitsregel bei der Ziffer Drei besagt, dass eine Zahl sich durch drei teilen lässt, wenn ihre Quersumme gleichfalls über die Eigenschaft verfügt. Prüfen wir, ob dies auf die Zahl 813 zutrifft. Dazu addieren wir die acht, die eins und drei und erhalten als Ergebnis zwölf.

Zwölf durch drei ergibt vier. Demnach besteht die Möglichkeit, auch die 813 ohne Schwierigkeiten zu dritteln. Um eine natürliche Zahl durch fünf zu teilen, stellt die letzte Ziffer zwingend eine fünf oder eine Null dar. Bei der Division mit Zehn entstehen ganze Zahlen, wenn die letzte Ziffer eine Null ist.

Was bedeuten ggT und kgV?

Die Abkürzung ggT steht für den größten gemeinsamen Teiler. Sie gibt an, welche Teiler bei zwei unterschiedlichen natürlichen Zahlen identisch erscheinen. Die größte der Ziffern besteht als ggT. Das kgV stellt das kleinste gemeinsame Vielfache dar. Dieses zeigt an, welche Resultate als Vielfaches zweier Ziffern existieren. Die erste Zahl, die bei beiden gleich erscheint, erweist sich als kgV. Auf den ersten Blick finden viele Schüler die Regeln kompliziert. Daher bewährt es sich, alltägliche Beispiele zu finden.

Der Wert des größten gemeinsamen Teilers liegt in der Regel über der Zahl Eins. Entspricht er dieser Ziffer, bezeichnen ihn die Mathematiker als teilerfremd. Bei dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen kommt es darauf an, dass es kleiner als das Produkt ist. Alternativ besitzt es denselben Wert, da ein Multiplikationsergebnis immer das Vielfache der Faktoren darstellt.

Beispielsweise versuchen die Lernenden, den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 32 herauszufinden. Zu dem Zweck notieren sie zuerst sämtliche Ziffern, die sie durch zwölf dividieren. In der Mathematik schreiben sie das Ergebnis folgendermaßen: T(12) = (1; 2; 3; 4; 6; 12). Danach wiederholen sie den Prozess mit 32. Als Teilermenge erhalten sie 1, 2, 4, 8, 16 und 32. Vergleichen sie die Resultate, bemerken sie, dass die Zahl Vier den größten gemeinsamen Teiler repräsentiert.

Ebenso einfach funktioniert das Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Als Exempel nehmen die Schüler die Zahlen drei und vier. Zunächst überlegen sie, welche Ergebnisse bei der Multiplikation mit Drei auftreten. Nehmen sie die natürlichen Zahlen mit der Ziffer mal, entsteht die Vielfachmenge V(3) = (3; 6; 9; 12; 15; …). Als Vielfache der Ziffer Vier zeigen sich bei den ersten vier Multiplikationen 4, 8, 12, 16. Beim Vergleich beider Resultate bemerken die Lernenden, dass die Zwölf als kgV gilt.

Bei den Teilbarkeitsregeln, dem größten gemeinsamen Teiler und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen erhält das Einmaleins Priorität. Verfügen die Kinder nicht über die nötige Sicherheit, wiederholen sie die Übungen regelmäßig. Ihre Eltern unterstützen sie dabei, wenn sie ihnen beispielsweise bei unkomplizierten Tätigkeiten Matheaufgaben stellen.

Das Auf- und Abrunden von Zahlen

Um eine Zahl mit einer Kommastelle in eine natürliche Ziffer umzuwandeln, lohnt es sich, sie auf- oder abzurunden. Hierbei erhalten die Rundungsregeln einen wesentlichen Stellenwert. Stehen hinter dem Komma die Zahlen eins bis vier, runden die Schüler ab. Beispielsweise ergibt 3,2 rund drei. Bei Ziffern, hinter deren Komma eine sechs oder ein höherer Wert steht, erfolgt das Aufrunden. Demnach entspricht 3,8 einer Vier. Steht hinter dem Komma eine Fünf, entscheiden die Sprösslinge selbstständig, ob sie auf- oder abrunden.

Um das mathematische Verfahren zu üben, benutzen die Eltern das Taschengeld als lohnendes Beispiel. Sie geben dem Kind fünf Euro und 60 Cent. Rundet es richtig auf sechs Euro auf, erhält es den gesamten Betrag. Alternativ verwenden die Erziehungsberechtigten als Probematerial Schokolade.