Vierecke

Aufbau und Definition der Vierecke

In der Fachsprache bezeichnen Mathematiker Vierecke als Vielecke oder sogenannte Polygone. Diese entstehen, wenn man mindestens drei Punkte mittels Strecken verbindet. Zu den einfachsten Polygonen zählen Dreiecke. Besitzen diese mehr als drei Ecken entstehen Vierecke, Fünfecke und weitere. Diese zerlegen Mathematiker ebenso in mehrere Dreiecke. Vierecke sind demnach Polygone mit einer Anzahl von vier Ecken.

Definition der Vierecke: Bei diesem handelt es sich um eine geometrische Figur. Sie besteht aus einer Anzahl von vier Punkten, welche niemals auf einer Geraden liegen. Zwischen den einzelnen Punkten bestehen vier Verbindungsstrecken.

Demnach weist diese geometrische Figur vier Seiten, vier Ecken, vier Innenwinkel und zwei Diagonalen auf. Im Sinne der euklidischen Geometrie ist sie eine Figur, die sich in einer Ebene befindet.

Bezeichnungen in der Figur

Grundsätzlich beschreibt die Mathematik die Eckpunkte der Figur mit großen Buchstaben. Dabei weist jedes Viereck die Ecken A, B, C und D auf. Deren Beschriftung erfolgt umgekehrt dem Uhrzeigersinn. Zu den wichtigsten Größen der Vierecke zählen neben den einzelnen Seiten die jeweiligen Winkel. Je nach Art des Vierecks unterscheiden sich diese.

Vierecke besitzen jeweils vier Begrenzungslinien oder Seiten. Diese beschriftet der Mathematiker mit kleinen Buchstaben a, b, c und d. Die Bezeichnung erfolgt ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn.

Die Winkelbeschriftung erfolgt anhand von griechischen Kleinbuchstaben. Zu jedem Eckpunkt gibt es einen passenden Winkel. Der Winkel α [gesprochen: Alpha] liegt bei dem Eckpunkt A. Der Winkel β [gesprochen: Beta] liegt auf derselben Linie und bezeichnet folglich den Eckpunkt B.

Der Winkel γ [gesprochen: Gamma] liegt im Eckpunkt C und der Winkel δ [gesprochen: Delta] im Eckpunkt D. Zusammen ergeben die Winkel der Vierecke immer 360°. Näheres zur Berechnung finden Interessierte im Abschnitt Winkelsumme.

Ebenso beschriften Mathematiker die Diagonalen. Hier verwenden Mathematiker die Kleinbuchstaben e und f. Dabei gilt, dass die Eckpunkte A und C eine Verbindung durch die Diagonale e eingehen. Die Eckpunkte B und D verbindet die Diagonale f. Im Mittelpunkt M schneiden sich beide Diagonalen e und f.

Um ein Viereck festzulegen, benötigen Interessierte fünf Bestimmungsstücke, um die Vierecke eindeutig zu konstruieren. Als Vorlage brauchen sie dazu mindestens eine vorgegebene Seite. Innerhalb des Vierecks ergeben sich verschiedene Berechnungsmöglichkeiten zu diesen gehören der Umfang und die Winkelsumme.

Der Umfang eines Vierecks

Um diesen zu berechnen, benötigen wir die Formel:

U = a + b + c + d.

Der Umfang ergibt sich aus der Summe aller vier Seitenlängen. Seite a + Seite b + Seite c + Seite d = Umfang.

Die Winkelsumme der Vierecke

Legt man die vier Winkel eines Vierecks im selben Scheitelpunkt zusammen, ergibt sich ein kompletter Kreis. Dadurch beträgt die Winkelsumme immer 360°. Demnach lautet die Formel:

Winkel α + Winkel β + Winkel γ+ Winkel δ= 360°.

Möglich ist ebenso die Herangehensweise über die Berechnung der einzelnen Dreiecke mittels der Diagonalen. Dabei beträgt der Innenwinkel eines Dreiecks 180°. Beide Dreiecke vereint zum Viereck zusammen folglich 360°.

Arten der Vierecke

Die Figuren unterscheiden sich anhand ihrer Winkel und Seiten. Grundsätzlich gibt es sieben verschiedene Sorten. Um einen kleinen Überblick darüber zu bekommen, erläutern wir die Unterschiede dieser Vierecke.

Das Parallelogramm

Dieses bezeichnet der Mathematiker als Rhomboid. Dabei handelt es sich um ein Viereck, dessen parallel gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge aufweisen. Die Diagonalen des Parallelogramms halbieren einander. Winkel, die sich gegenüberliegen, weisen die gleiche Größe auf.

Das Rechteck

Hierin befinden stehen die Seiten senkrecht zueinander. Alle Winkel liegen bei 90°. Die Diagonalen halbieren sich. Sie sind gleich lang. Ebenso weisen sich gegenüberliegende Seiten des Rechteckes die gleiche Länge auf.

Die Raute

Diese bezeichnen Mathematiker als Rhombus. Er besteht aus vier gleich langen Seiten. Die gegenüberliegenden Winkel weisen die gleiche Größe auf. Die Diagonalen im Rhombus stehen zueinander senkrecht. Sie bilden Winkelhalbierende.

Das Quadrat

Dieses gilt als spezielle Form des oben erklärten Rhombus. Bei diesem Viereck besitzen alle vier Seiten dieselbe Länge. Die gegenüberliegenden Winkel weisen die gleiche Größe auf. Die innen liegenden Diagonalen bilden eine Winkelhalbierende und stehen zueinander senkrecht. Im Gegensatz zum Rhombus sind alle Winkel im Quadrat gleich groß und betragen jeweils 90°.

Das Trapez

Dieses Viereck weist lediglich zwei parallele sich gegenüberliegende Seiten auf. Dadurch unterscheidet es sich vom Parallelogramm.

Weitere Vierecke

Im Unterpunkt Spezialvierecke finden Interessierte weitere besondere Formen der Figur. Zu diesen gehören das Sehnenviereck und das Tangentenviereck, das konkave und das überschlagene Viereck. Ebenso finden sie in dieser Rubrik Grundlagen zur Ermittlung des Flächenschwerpunktes, des Kantenschwerpunktes und des Eckenschwerpunktes. Hinzu kommen Ausführungen zur Symmetrie des jeweiligen Vierecks.

Grundlagen zur Unterscheidung der Vierecke

Zunächst bestimmen Mathematiker, ob die Figur ein Viereck ist. Weist der geometrische Körper vier Seiten und vier Ecken auf, handelt es sich um ein solches. Zur Berechnung erfordert es vier Punkte, dabei liegen jeweils ausschließlich zwei auf derselben Geraden. Anschließend folgt die genauere Bestimmung. Hier gilt es, diverse Unterschiede zu erkennen.

Am einfachsten ersichtlich ist das Quadrat. Es weist vier gleichlange Seiten auf, die Winkel betragen jeweils 90°. Quadrate sind spezielle Formen von Rhomben. Auch bei ihm weisen alle Seiten die gleiche Länge auf, jedoch sind die Winkel unterschiedlich groß. Beim Quadrat beträgt jeder einzelne Winkel ausschließlich 90. Prinzipiell ist jedes Quadrat eine Raute, umgekehrt gilt diese Annahme nicht.

Um das Rechteck vom Rhombus und Quadrat zu unterscheiden, fällt der Blick auf die Seiten. Bei den anderen Formen sind die Seiten gleich lang, beim Rechteck lediglich die gegenüberliegenden Seiten.

Das Parallelogramm unterscheidet sich vom Rechteck in der Größe seiner Winkel. Das Rechteck weist jeden Winkel mit 90° aus, beim Parallelogramm sind diese unterschiedlich groß.

Das Trapez unterscheidet sich vom Parallelogramm darin, dass bei Letzterem alle gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge aufweisen und parallel sind. Gegenüberliegende Winkel besitzen dieselbe Größe. Das Trapez weist lediglich zwei parallele Seiten auf.