Sicher und schnell Mathe lernen
Quadratische Funktionen sehen auf den ersten Blick kompliziert aus, sodass die Schüler sie für abstrakte Mathematik halten. Dabei erhalten sie im alltäglichen Leben einen hohen Stellenwert. Beispielsweise finden sie in der Wirtschaftsmathematik Anwendung, um einen Kosten-Nutzen-Plan zu erstellen. Auch bei der Zinsrechnung und im Bereich der Statistik benötigen die Wissenschaftler die quadratischen Funktionen.
Funktionen, die sich mit Termen der Form f(x) = ax2 + bx+c mit a ≠ 0 darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen heißen Parabeln. Die Gleichung y = ax2+ bx +c heißt somit Parabelgleichung Falls
Ausführliche InfosGleichungen, die man auf die Form ax2 +bx +c = 0 bringen kann, heißen quadratische Gleichungen. Man nennt ax das
Ausführliche Infos1)Wie ist der Definitionsbereich definiert? Der Definitionsbereich ist definiert als die Menge aller Werte die, eingesetzt in die Funktion, einen
Ausführliche InfosWas waren noch einmal Lineare Funktionen? Mit dem Begriff lineare Funktion wird oft eine Abbildung der Form also eine Polynomfunkiton höchstens ersten
Ausführliche InfosEine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Am sichersten ist aber die Variante mit der Wertetabelle Eine Wertetabelle hat
Ausführliche InfosBevor wir mit einem Beispiel die Formel verdeutlichen, wollen wir sie zuerst herleiten. Um die abc-Formel herzuleiten, muss x auf einer Seite
Ausführliche InfosWenn wir den Schnittpunkt von zwei quadratischen Funktionen bestimmen möchten, müssen wir die beiden Funktionen einfach gleichsetzen und die Gleichung
Ausführliche InfosEine andere Möglichkeit die Nullstellen zu berechnen ist die PQ-Formel. Diese können wir anwenden, wenn die Funktion in der Normalform
Ausführliche InfosMithilfe der quadratischen Ergänzung können wir die Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnen. Das Vorgehen ähnelt dabei dem für die Umrechnung
Ausführliche InfosOft ist es notwendig eine gegebene quadratische Funktion von einer Darstellungsform in eine andere umzurechnen. Zum Beispiel wenn wir unterschiedliche
Ausführliche InfosDie Quadratische Ergänzung ist ein Werkzeug welches wir in den folgenden Artikeln benötigen. Für die quadratische Ergänzung benötigen wir das
Ausführliche InfosDer Parameter a (auch Öffnungsfaktor genannt) gibt an, ob eine quadratische Funktion gestaucht oder gestreckt ist und außerdem auch ob
Ausführliche InfosUm eine quadratische Funktion in y-Richtung zu verschieben müssen wir einfach den gewünschten Wert addieren oder subtrahieren. Wenn wir zum
Ausführliche InfosEs gibt mehrere Formen um quadratische Funktionen darzustellen. Wir wollen hier die gebräuchlichsten Vorstellen. Die Scheitelpunktform ist die Form, in
Ausführliche InfosWenn man die Funktionsvorschrift hat, ist es relativ einfach eine Funktion zu zeichnen. Das Vorgehen ist dabei dasselbe wie auch
Ausführliche InfosDer Scheitelpunkt Der Scheitelpunkt ist der niedrigste oder höchste y-Wert einer quadratischen Funktion. Er wird auch Hoch- oder Tiefpunkt genannt.
Ausführliche InfosFunktionen kennen wir bereits. Vor allem die linearen Funktionen haben wir schon kennengelernt. Erst einmal sind die quadratischen Funktionen ähnlich.
Ausführliche InfosEin anderer Name für die quadratischen Funktionen lautet ganzrationale Funktion. Zusätzlich verwenden die Mathematiker den Begriff Polynom zweiten Grades. Demnach erweist sie sich als Funktion, die einen Funktionsterm darstellt und über ein Polynom zweiten Grades verfügt. Mathematische Funktionen unterteilen sich in verschiedene Typen. Dazu zählen:
Zusätzlich weisen die einzelnen Elemente eine Grundform auf. Quadratische Funktionen besitzen die Formel:
f(x) = ax2 + bx +c.
Die Schüler achten darauf, dass a niemals die Zahl Null darstellt. Bei den besonderen Funktionen kommt ein Graph als Darstellungsform zum Einsatz. Im Fall der quadratischen Funktion handelt es sich um die Parabel. Mithilfe der Werteberechnung von a, b und c ermitteln die Lernenden den Wertebereich. Dadurch erkennen sie, welche Form der Funktionsgraph aufweist.
Vorrangig nimmt der Wert von a Einfluss auf das Aussehen des Funktionsgraphen. Dieser zeigt sich in Form einer klassischen Parabel, gestaucht oder lang gezogen. Quadratische Funktionen verschieben sich innerhalb des Koordinatensystems, sofern der Wert b einer Veränderung unterliegt.
Beispielsweise zeichnen die Schüler die Parabel weiter entfernt von der x- oder y-Achse. In der Regel bleibt die quadratische Funktion jedoch auf der horizontalen Achse. Anders verhält es sich, wenn eine Erhöhung des Wertes c stattfindet.
In dem Fall klettert die Funktion die y-Achse hinauf. Kommt es zu einer Verringerung von c, gelangt sie unterhalb des Nullpunkts und befindet sich im unteren Bereich des Koordinatensystems. Um quadratische Funktionen zu zeichnen, eignet sich Koordinatenpapier. Besitzen die Kinder dieses nicht, benutzen sie kariertes Papier.
Die einzelnen Kästchen vierteilen sie, um die richtige Einheit zu erhalten. Zusätzlich bedenken sie, dass sie eine Parabel benötigen. Sie gibt Auskunft darüber, wie eine quadratische Funktion ohne veränderte Werte aussieht.
Quadratische Funktionen stellen in der Mathematik relevante Berechnungen dar. Zudem gehen sie speziellen Fachbegriffen einher. Dazu zählt der Scheitelpunkt, der für die Definition der Funktion eine wesentliche Rolle spielt. In der Regel besteht er als niedrigster oder höchster Punkt auf der y-Achse. Demnach bezeichnen ihn die Mathematiker auch als Hoch- oder Tiefpunkt.
Hierbei kommt es auf die Öffnung der Parabel an. Zeigt die geöffnete Seite nach oben, erweist sich der Scheitelpunkt als tiefste Stelle. Eine weitere Bezeichnung lautet Minimum. Bei einer nach unten geöffneten Parabel gilt er dagegen als höchster Fleck oder als Maximum.
Des Weiteren erhalten bei den quadratischen Funktionen die Achsenabschnitte Bedeutung. Der y-Achsenabschnitt kennzeichnet den Bereich, in dem die Parabel auf die vertikale Achse trifft. Liegt die Normalform vor, befindet sich der Scheitelpunkt direkt auf der x-Achse. Sobald er diese verlässt, sprechen die Mathematiker von einer Scheitelpunktfunktion.
Quadratische Funktionen verfügen in einigen Fällen über Nullstellen. Zu deren Berechnung ziehen die Schüler die faktorisierte Form der Funktion heran. Auch hierbei gibt a Auskunft darüber, ob es sich um eine gestreckte oder gestauchte Parabel handelt. Die Nullstellen markieren die Lernenden mit den Buchstaben x1 und x2. Zeigen sich beide identisch, besitzt die quadratische Funktion nur eine Nullstelle.
Zeichnen sie die Funktion, legen sie im Vorfeld eine Wertetabelle an und markieren die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem. Danach verbinden sie diese mit einer schwungvollen Linie. In keinem Fall sollte die Parabel eckig oder schief aussehen.
Quadratische Funktionen benötigen die Schüler, um beispielsweise eine Wachstumsprognose zu erstellen. Um die einzelnen Terme umzuformen, benutzen sie die quadratische Ergänzung. Auf die Weise entsteht ein Binom. Das quadratische Binom erweist sich in der Mathematik als Polynom mit zwei Gliedern. Demnach erscheint das Binom als Summe oder Differenz von zwei Monomen. Um es zu berechnen, kommen die binomischen Formeln zum Einsatz. Mit ihrer Hilfe gelingt es, Produkte aus Binomen umzuformen. Im Unterricht lernen die Schüler sie als Merkformen.
Die drei binomischen Formeln erleichtern vorrangig das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken. Ebenso besteht die Option, Terme zu faktorisieren. Damit die Kinder die Formeln verinnerlichen, nennen ihnen die Eltern praktische Anwendungsbeispiele. Demnach finden die binomischen Formeln beim Kopfrechnen Verwendung. Sie ermitteln die Quadratmeter einer Euro-Palette, wenn sie die dritte binomische Formel verwenden. Misst die Fläche beispielsweise 0,8 mal 1,2 Meter, entsteht folgende Umrechnung: (1 – 0,2) Meter mal (1 + 0,2) Meter. Daraus ergibt sich die Rechnung: 1 m2 – 0,04, sodass als Ergebnis 0,96 Quadratmeter übrig bleiben.
Das Ziel der quadratischen Ergänzung besteht darin, die binomischen Formeln bei quadratischen Funktionen zur Anwendung zu bringen. Beim Ergänzen berechnen die Schüler die Faktoren, die innerhalb der Formel fehlen. Damit keine Veränderung der Parabel entsteht, ziehen sie das Ergebnis nach der Rechnung ab.
Rechnen die Kinder zum ersten Mal mit den quadratischen Funktionen, fragen sie sich, worin der Nutzen besteht. Ab der zehnten Klasse kommen die Schüler mit den Funktionen und den zahlreichen Unterkategorien in Kontakt. Glauben sie, dass sie diese im Alltag nicht benötigen, wirkt sich der Umstand negativ auf die Lernbegeisterung aus. Daher erklären die Eltern ihnen beispielsweise, dass die quadratischen Funktionen in der Elektronik und der Statistik Verwendung finden.
Auch die Parabel erweist sich im alltäglichen Leben vertreten. Beispielsweise besitzt das menschliche Gebiss eine Parabelform. Ebenso verfügen zahlreiche Vasen und Gläser über ähnliche Maße. Vorrangig die Satellitenantenne spielt im Alltag eine wesentliche Rolle. Treffen Fernsehwellen auf den Satelliten, schickt dieser sie in einer Bogenform zurück zur Erde. Beim Kontakt mit der Satellitenantenne entsteht erneut eine Kurve, die an die Parabel erinnert. Auch in der Architektur und im Ingenieurwesen erhält sie einen hohen Stellenwert.
Die Architekten benötigen die quadratischen Funktionen, um beispielsweise eine Stützlast zu ermitteln. Das Maximum gibt hierbei an, an welcher Stelle sich die Kräfte konzentrieren.