Exponentialrechnung

Was stellt die Exponentialrechnung dar?

Bei dem Teilgebiet der Mathematik rechnen die Schüler mit Exponenten oder Potenzen. Letztere beschreibt eine wiederholte Multiplikation, wobei sie die Zahl mit sich selbst malnehmen. Beispielsweise schreiben die Lernenden 55, wenn sie 5 x 5 rechnen. In beiden Fällen bleibt das Ergebnis 25. Geben sie die Potenz an, nennt sich diese „fünf hoch fünf“. Bei der Exponentialrechnung bauen zahlreiche Rechnungen aufeinander auf. Daher lohnt es sich, die Grundlagen regelmäßig zu wiederholen, bis ein ausreichendes Verständnis des mathematischen Verfahrens gegeben ist.

Auf den ersten Blick sieht die Rechenart nach einer komplizierten Methode aus. Jedoch handelt es sich um eine Weiterführung der regulären Multiplikation. Bereits in der siebten Klasse kommen die Schüler mit der Exponentialrechnung in Kontakt. Damit in den Anfängen keine Schwierigkeiten auftreten, steht die Grundkenntnis des Einmaleins im Mittelpunkt. Beispielsweise helfen die Eltern ihrem Nachwuchs, wenn sie ihn häufiger abfragen. Decken die Kinder den Tisch, geben sie ihm Aufgaben aus dem kleinen Einmaleins, das die Zahlen bis 100 behandelt.

Um ein exponentielles Wachstum berechnen zu können, spielen auf die Ziffern über 100 eine wesentliche Rolle. Demnach festigen die Schüler besser ihr Wissen über das große Einmaleins. In der Exponentialrechnung finden weitere Rechnungen Anwendung. Dazu zählen beispielsweise:

• die Exponentialfunktionen,
• die Potenzfunktion und
• der Logarithmus.

Einen Link zu den ausführlichen Erklärungen der Untergruppen des Rechenverfahrens finden die Nutzer im Inhaltsverzeichnis.

Potenzen und andere Rechenarten

Bei der Exponentialrechnung beschäftigen sich die Lernenden nicht ausschließlich mit Potenzen. Einen hohen Stellenwert erhalten als Beispiele auch die Wurzeln und die Logarithmen. Mit ihnen gelingt es den Schülern, unbekannte Potenzen in Erfahrung zu bringen. In höheren Schulklassen nehmen die Potenzfunktionen eine wichtige Rolle ein.

Um diese zu berechnen, brauchen sie Kenntnisse über die Potenzregeln. Es bewährt sich, diese auswendig zu lernen. Die Potenzfunktionen benötigen die Schüler weiterhin, um die Nullstellen von Polynomen zu ermitteln. Der Vorgang erhält Priorität, um die Minima und Maxima einer Funktion zu errechnen.

Fehlen ihnen die Grundlagen der Exponentialrechnung, entwickelt sich die höhere Mathematik zu einer Schwierigkeit im Schulalltag. Im schlimmsten Fall schreiben die Kinder schlechte Zensuren, sodass ihr Zeugnis unter dem versäumten Lernstoff leidet. Gleichzeitig besteht die Möglichkeit, dass erwachsene Personen in einem Vorstellungsgespräch auf die Exponentialrechnung treffen. Um die Aufgaben korrekt zu lösen, wiederholen sie wichtige Richtlinien des Rechenverfahrens regelmäßig.

Weiterhin spielt die Eulersche Zahl bei der Exponentialrechnung eine bedeutende Rolle. Ihre Abkürzung lautet e, ihr Wert liegt bei 2,718. Im Regelfall gilt sie als Basis einer natürlichen Exponentialfunktion und der natürlichen Logarithmen.

Was stellen Exponentialfunktionen dar?

Die Exponentialfunktion gehört zu den wichtigsten Teilbereichen der Exponentialrechnung. Hierbei erweist sich x als ax. In der Regel kommen vorwiegend die reellen Zahlen zum Einsatz. Dabei liegt der Wert von a über Null, entspricht aber nicht der Ziffer eins. Der Grund besteht darin, dass bei der Multiplikation einer Grundzahl mit eins immer die Grundzahl selbst als Ergebnis steht. Da sich der Wert bei einem exponentiellen Wachstum vermehrt, stellt Eins keinen sinnvollen Ausgangspunkt dar.

Besteht a als eins, besagt die Potenzrechnung, die Schüler multiplizieren im Fall von 15 fünfmal die eins, was ebenfalls eins ergibt. Demnach stellen weder x, noch a die Ziffer dar. Bei der natürlichen Exponentialfunktion erweist sich die Eulersche Zahl als Basiswert.

Speziell in den Naturwissenschaften stehen die Funktionen im Mittelpunkt. Um sie ohne Probleme zu berechnen, lernen die Kinder besser auch die Eulersche Zahl auswendig. Gegenüber einer normalen Exponentialfunktion besitzt die natürliche Variante der Rechenart besondere Eigenheiten.

Wie lernen Schüler den Logarithmus?

Der Plural von Logarithmus lautet Logarithmen. Hierbei handelt es sich um den Exponenten einer Basiszahl, mit dem die Lernenden diese potenzieren. Hierbei bedenken sie, dass die Rechenart ausschließlich für positive und reelle Zahlen gilt. Zeigt sich die Basis als negative Ziffer, ist das Ergebnis nicht definiert. Auch im Alltag stehen die Logarithmen im Vordergrund. Vorrangig kommen sie zum Einsatz, wenn die Nutzer Messwerte in einem breiten Wertebereich abbilden. Das geschieht beispielsweise bei der Ermittlung einer Erdbebenstärke.

Weiterhin erweist sich der Logarithmus sinnvoll, um den Schall zu berechnen. Das menschliche Ohr reagiert auf Lautstärke logarithmisch, sodass die Darstellung eine lebensechte Reaktion zeigt. Aufgrund dieser gelingt es dem Organ, leise und laute Geräusche ohne negative Beeinträchtigungen zu verstehen. In der Regel empfindet der Mensch eine Verzehnfachung des Schalls als Verdopplung der gehörten Lautstärke. Anhand eines Logarithmus erzielen die Forscher exakte Werte.

Die Exponentialrechnung im Alltag

Ein weiteres Gebiet der Exponentialrechnung – die Exponentialfunktion – erhält in alltäglichen Situationen Relevanz. Beispielsweise benutzen Mediziner die Rechenmethode, um den Medikamentenabbau zu beschreiben. Bei der Energiegewinnung erweist sich das mathematische Verfahren ebenfalls als hilfreich. Es zeigt an, in welchem Zeitraum der radioaktive Zerfall passiert.

Um den Schülern das Interesse an der Rechnung nahezubringen, informieren sie die Eltern über die Alltagsbeispiele. Dadurch erkennen die Lernenden, dass es sich nicht um abstrakte Mathematik handelt. Zusätzlich erhalten die Exponenten und Potenzen im Finanzwesen Wichtigkeit. Durch die Verzinsung von Zinsen profitieren die Anleger beispielsweise von einem exponentiellen Wachstum ihres Kapitals. Interessieren sich die Lernenden für die Natur, erklären die Eltern die Exponentialrechnung an einem biologischen Exempel.

Bakterien vermehren sich ebenfalls exponentiell. Dadurch kommt es zu einer prozentualen Zunahme ihrer Anzahl. Im Gegensatz zur normalen Multiplikation steht keine feste Zahl im Mittelpunkt. Stattdessen berechnen die Lernenden die Prozentzahl in Abhängigkeit von der Zeit. Das Rechenverfahren stellen sie in einer E-Funktion grafisch dar.

Ein nützliches Hilfsmittel stellt hierfür die Parabel dar. Um die Funktion zu zeichnen, benötigen sie eine X-Achse und eine Y-Achse. Dabei stellt die waagerechte Linie – in der Regel x – die Zeit dar, während y, die vertikale Linie, die Menge angibt.

Die Kinder rechnen die Punkte der E-Funktion aus und tragen sie als Kreuze in das Koordinatensystem. Zeigt die daraus resultierende Linie nach oben, herrscht ein exponentielles Wachstum. Deutet sie nach unten, kommt es zum exponentiellen Zerfall.