Kreiswinkel

Zum Thema der Kreiswinkel in der 9. Klasse zählen insbesondere

• der Kreiswinkelsatz,
• Umfangswinkelsatz und
• der Sehnentangentenwinkelsatz.

Für diesen Zweck findet sich auf der linken Seite das Inhaltsverzeichnis, welches auf diese Unterpunkte verweist. In diesen detaillierten Artikel befinden sich ausführliche Erklärungen und Beweise, die den jeweiligen Winkelsatz belegen. Mit dieser Erklärung ist eine Anwendung der Kreiswinkel schnell gelernt.

Die Kreiswinkel in der 9. Klasse

Bei Kreiswinkel in der 9. Klasse unterscheiden Mathematiker mehrere Winkel. Sie entstehen durch die Verbindung verschiedener Endpunkte, wie A und B, eines bestimmten Kreisbogens mit dem dazugehörigen Mittelpunkt M und einem zufälligen Punkt P, der sich auf dem Kreisbogen befindet. Innerhalb dieses sich bildenden Dreieckes breiten sich drei wesentliche Winkel aus.

Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel beim Punkt M, der sich durch die Verbindung von A, M und B bildet. Oft sprechen Mathematiker bei diesem Winkel von einem Zentriwinkel. Ein weiterer Winkel ist der sogenannte Umfangs- oder Peripheriewinkel. Er beschreibt den sich bildenden Winkel zwischen den Punkten A, P und B am Scheitelpunkt P. Aufgrund dessen, dass der Kreis außerhalb alle Punkte umfasst und schneidet, liegt der Name Umfangswinkel nahe.

Ein dritter Winkel entsteht zwischen einer Kreistangente im Punkt A oder B und der Verbindungssehne des Kreisbogens AB. Dieser Winkel trägt den Namen Sehnentangentenwinkel. In Abhängigkeit davon, wie die Sehne zur Tangente steht, sind spitze und flache Winkel möglich. Zu allen Mittelpunkts- sowie Umfangswinkel gehören bestimmte Kreisbögen und Sehnen.

Nicht immer beziehen Fachleute bei Umfangs-, Mittelpunkts- und Sehnentangentenwinkel einen gegebenen Kreisbogen. Anstelle dessen verwenden sie eine Kreissehne, wie AB. Bestimmt der Mathematiker diese Definition, gilt es, zwei Arten Umfangswinkel zu unterscheiden. Es entstehen spitze und stumpfe Umfangswinkel. Innerhalb dieser Definition besteht der Mittelpunktswinkel aus dem kleineren von beiden Winkel, welche die Kreisradien, MA und MB, umschließen.

Der Kreiswinkelsatz

Der Kreiswinkelsatz trägt zwei weitere Namen: Zentriwinkelsatz und Mittelpunkswinkelsatz. Alle drei Begriffe bezeichnen denselben Satz und stellen lediglich Synonyme für die Rechenregel dar. Die Kernaussage des Kreiswinkelsatzes ist, dass der Mittelpunktswinkel die doppelte Größe wie die Randwinkel besitzt. Mit dem Zentriwinkelsatz ist die Berechnung des Kreiswinkels möglich. Dieser Winkel ist, wie oben beschrieben, der Winkel am Mittelpunkt, im Dreieck von AMB. Wichtig ist, dass A und B auf dem Kreis liegen.

Zur Erklärung dieser Aussage ist es wichtig, im Vorfeld zu klären, welche Umstände wir wissen. Jeder Punkt ist aufgrund des Radius gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Aus diesem Grund sind die Strecken AM, BM und CM gleich lang.

Daraus folgt, dass es sich bei den einzelnen Dreiecken um gleichschenklige Dreiecke handelt. Mit diesem Wissen ist es nicht mehr schwer, den Beweis für den Kreiswinkelsatz rechnerisch zu liefern. Für weitere Informationen findet der Leser im Inhaltsverzeichnis der Kreiswinkel in der 9. Klasse, den Kreiswinkelsatz.

Umfangs- oder Peripheriewinkelsatz

Ein weiteres Themengebiet der Kreiswinkel in der 9. Klasse ist der Umfangs- oder Peripheriewinkelsatz. Beide Namen gelten für dieselbe mathematische Aussage. Dieser Winkelsatz besagt, dass bei allen Dreiecken, mit den Eckpunkten ABC, wobei C auf einem Kreisbogen, der sogenannten Peripherie, steht, der Winkel im Punkt C über der Kreissehne AB gleich groß ist. Zu beachten ist, dass C auf jeden Fall auf der gleichen Seite der Sehne liegt. Aus dieser Ansicht ist zu vermerken, dass jeder Umfangswinkel über denselben Kreisbogen die Hälfte der Größe des zugehörigen Mittelpunktswinkel aufweist.

Dieser Aussage des Umfangswinkelsatzes zufolge bedeutet, dass jeder weitere Punkt eines Dreieckes mit A und B, auf der Kreislinie, dieselbe Winkelgröße auf der Seite der Sehne besitzt. Der Kreisbogen an einer Sehne trägt den Namen Fasskreisbogen. In der Regel besitzt jede Sehne zwei Fasskreisbögen.

In diesem Zusammenhang ist der Satz des Thales zu erwähnen, der besagt, dass jeder Umfangswinkel über einen Halbkreis ein rechter Winkel ist. Dieses Thema findet der Leser ausführlich beschrieben unter dem Reiter im Inhaltsverzeichnis der Kreiswinkel in der 9. Klasse „Umfangswinkelsatz“.

Sehnentangentenwinkelsatz

Als dritten Kreiswinkel in der 9. Klasse lernen die Schüler den sogenannten Sehnentangentenwinkelsatz. Dieser eigene Satz dient als Erweiterung der anderen Winkel, um eine größere Vielfalt an Problemen zu lösen. Der allgemeine Satz sagt aus, dass der Sehnentangentenwinkel die gleiche Größe besitzt, wie der Umfangswinkel. Durch diese Aussage ergibt sich, dass der Sehnentangentenwinkel die halbe Größe wie der dazugehörige Mittelpunktswinkel aufweist.

In einem gewöhnlichen Kreis mit den Punkten A, B, C und M verläuft eine Tangente senkrecht auf den Radius im Punkt A. Dieser Winkel beträgt 90 Grad zur Strecke AM. Daraus schließt sich, dass die Winkel Alpha + Phi 90 Grad ergeben. Aus Alpha wird 90 Grad minus der Umfangswinkel. Diese Umrechnung ist der Beweis, dass der Sehnentangentenwinkel dem Umfangswinkel entspricht. Für eine genauere Erklärung steht im Inhaltsverzeichnis der Link zum Sehnentangentenwinkelsatz zur Verfügung.

Konstruktionsaufgaben mit Winkelsätzen

Oft nutzen Mathematiker diese Winkelsätze um spezielle Konstruktionsaufgaben zu lösen. Kreiswinkel in der 9. Klasse zu lernen, kann für den späteren Beruf eine Rolle spielen. In der Regel kommt der Umfangswinkelsatz gelegentlich für geometrische Konstruktionen zum Einsatz.

Gesucht sind in den meisten Fällen die Menge, sprich den geometrischen Ort, aller Punkte P, die zusammen mit einer Strecke AB einen Winkel ergeben. Für gewöhnlich besteht die gesuchte Punktmenge aus zwei speziellen Kreisbögen, den bereits erwähnten Fasskreisbögen.

Der Satz des Thales kommt bei der Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken zum Einsatz. Bei diesem speziellen Sonderfall ist der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis. Der Mittelpunktswinkel beträgt 180 Grad und erhält den Namen gestreckter Winkel. Gleichzeitig ist der Umfangswinkel 90 Grad und entspricht einem rechten Winkel.

Alle einzelnen Sätze, Zentriwinkel-, Kreiswinkel-, Peripherie- oder Umfangswinkelsatz und der Sehnentangentensatz sind spezielle Aussagen in Bezug auf einen Kreiswinkel in der 9. Klasse. Alle Winkel sind miteinander verbunden und bedingen die anderen. Auf diese Weise ist mit einem vorhandenen Winkel und anderen Elementen die Aufgabe schnell zu lösen.