kgV – kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kgV als kleinstes gemeinsames Vielfaches, ist eine mathematische Definition, dessen Begleiter der größte gemeinsame Teiler ist. Das kgV ist besonders für das Bruchrechnen sowie für die Zahlentheorie von Bedeutung. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches ist eine ganze positive Zahl, die ein Vielfaches zweier natürlicher Zahlen darstellt. Um diese Lösung zu finden, existieren mehrere Varianten und Tricks, die dem Mathematiker zur Seite stehen.

Das kgV durch gemeinsame Vielfache ermitteln

Dieses Verfahren ist von der Theorie und vom Verständnis aus gesehen das Leichteste. Bei dieser Berechnung vervielfacht der Anwender die Zahlen a und b und schreibt sie auf. Mehrere Vielfache überschneiden sich irgendwann, sodass mehrere gemeinsame Vielfache zur Verfügung stehen. Gesucht ist das kgV, als kleinstes gemeinsames Vielfaches, sodass die Lösung die kleinste errechnete gemeinsame Zahl ist.

Um für ein besseres Verständnis zu sorgen, nehmen wir als Beispiel das kgV von 8 und 12 her. Die Vielfache von 8 sind: 8, 16, 24, 32, 40, 48 uns so weiter. Die Vielfachen von 12 sind 12, 24, 36, 48, 60. Nun sehen wir, dass zwei gemeinsame Vielfache zur Verfügung stehen: 24 und 48. Ein weiteres Vielfaches trifft sich, wenn der Anwender 8 * 12 rechnet, was 96 ergibt. Gesucht ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, das in diesem Fall bei 24 liegt:

kgV (8,12) = 24

Als weiteres Beispiel versuchen wir das kgV von 3 und 5 zu ermitteln.

Die Vielfachen von 3 sind: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ……

Die Vielfache von 5 sind: 5, 10, 15, 20, …..

Wir erkennen, dass das gemeinsame Vielfache bei 15 liegt, welches gleichzeitig das kleinste ist. Die Lösung in diesem Fall ist 15.

kgV (3,5) = 15

Kleinstes gemeinsames Vielfaches durch die Primfaktorzerlegung bestimmen

Die Primfaktorzerlegung findet sich im Kapitel „Primfaktorzerlegung“. Bei diesem Schritt ist eine natürliche Zahl in einzelne Primfaktoren zu zerlegen. Mit dieser Methode ist es möglich, die angegebene Zahl als ein Produkt mehrerer Primfaktoren darzustellen. Primzahlen sind ganze Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Da der Mathematiker mit der Zahl 1 nicht weiter kommt, ist die kleinste Primzahl die „2“.

Für die Primfaktorenzerlegung ist die gegebene Zahl auf ihre Teilbarkeit zu prüfen. Der Anwender beginnt mit der kleinsten möglichen Primzahl. Ist diese nicht zu teilen, kommt die nächsthöhere Primzahl an die Reihe.

Aus der Zahl 12 ergeben sich die Primfaktoren: 2 * 2 *3.

12 : 2 = 6 => 6 : 2 = 3 => 3 : 3 = 1

Jeder Dividend stellt ein Primfaktor dar.

Die Zahl 56 besteht aus dem Primfaktoren: 2 * 2 * 2 * 7

Die Lösung ist schneller und einfacher ermittelt, als durch den Vergleich von gemeinsamen Vielfachen. Um auf dieses Ergebnis zu kommen, nimmt der Mathematiker alle Primzahlen zusammen, von denen jeweils das höchste Vorkommen der Zahl zu berücksichtigen ist.

In diesem Beispiel kommt die Primzahl 2 bei 12 zweimal vor, bei 56 aber dreimal. Anschließend ist jeweils 3 und 7 einmal enthalten. Die Primzahl 2 überschneitet sich, wobei der höchste zugehörige Exponent zu berücksichtigen ist. In Zahlen ausgedrückt bedeutet dies:

kgV (12,56) = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 2hoch3 * 3 * 7 = 168

kgV (12, 56) = 168

Als Vergleich zur vorherigen Methode wäre es notwendig, die Zahl 12 vierzehnmal zu vervielfachen, um an diese Lösung zu gelangen. Die Abkürzung über die Multiplikation beider Zahlen ist 672, was das Vierfache des eigentlichen kgV darstellt.

Wenn das ggT – größter gemeinsame Teiler bekannt ist

Eine weitere Lösungsvariante ermöglicht sich, wenn der ggT bekannt ist, oder ebenfalls zu ermitteln ist. Im Kapitel „größter gemeinsamer Teiler“ stehen die Beschreibung und der Lösungsweg zum ggT. In diesem Fall bietet es sich an, den ggT vor dem kgV zu berechnen. Steht der gemeinsame Teiler fest, existiert eine kleine Formel, über die ohne Mühe das kgV zu lösen ist:

kgV (a,b = a * b : ggT)

Als Beispiel nehmen wir die Zahlen 12 und 56 her, von denen das kgV gefragt ist. Bekannt ist der ggT, der in diesem Fall 4 ist.

kgV (12,56) = 12 * 56 : 4 = 672 : 4 = 168

Diese Lösungsvariante bietet den schnellsten und einfachsten Lösungsweg unter der Bedingung, dass der größte gemeinsame Teiler feststeht. Besteht die Aufgabenstellung darin, das kgV und ggT zu ermitteln, bietet sich diese Methode bestens an.

kgV von mehreren Zahlen berechnen

Wesentlich komplizierter erscheint das Finden des kgV von mehreren Zahlen. Um enorme Schreibarbeit zu vermeiden, ist die erste Lösungsvariante nicht zu empfehlen. Ist der ggT nicht bekannt, bleibt ausschließlich der Weg über die Primfaktorzerlegung übrig. Nach dieser Zerlegung verwendet der Mathematiker alle Primfaktoren, die zumindest in einer dieser Zahlen bestehen, mit der dazugehörigen höchsten vorkommenden Potenz. Alle Faktoren multipliziert ergeben ein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Als Beispiel suchen wir das kgV von 25, 32 und 54.

Die Primfaktorenzerlegung von 25 ergibt: 5 * 5 *1

Aus 32 sind folgende Primfaktoren zu entnehmen:

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 1

54 zerlegen wir in:

2 * 3 * 3 * 3 * 1

Alle vorkommenden Primfaktoren sind 2, 3 und 5. Von dem Faktor 2 kommt in der Zahl 32 der Primfaktor fünfmal vor, in 54 lediglich einmal. Aus diesem Grund setzen wir als Primzahl mit der höchsten vorkommenden Potenz 2hoch5 ein. Den Primfaktor 3 erhalten wir aus der Zerlegung von 54, sodass 3hoch3 heranzuziehen ist. Die Zahl 5 ergibt sich aus der Zerlegung von 25, wobei der Faktor zweimal auftritt.

Im Endergebnis fasst der Anwender alle Primfaktoren mit den dazugehörigen Potenzen in einer Multiplikation zusammen, wodurch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches als Ergebnis herauskommt.

kgV (25,32,54) = 2hoch5 * 3hoch3 * 5hoch2 = 21600

Für was ist das kgV von Nutzen?

Besonders gefragt ist das kgV, kleinstes gemeinsames Vielfaches, beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen. Um Brüche mit verschiedenen Nennern zusammenzufassen, ist es wichtig, vorher einen gemeinsamen Nenner zu bestimmen und den Zähler zu erweitern. Eine einfache Methode wäre es, die Nenner zu multiplizieren, was bei großen Zahlen schnell zu einem unübersichtlichen Bruch führt. Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kgV, mit dessen Hilfe die Brüche auf den Nenner zu erweitern sind und anschließend das Zusammenfassen gelingt.

kgV

Quelle:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches

Rechner kgV – kleinstes gemeinsames Vielfaches

Unser Lernvideo zu : kgV – kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beispiel: kgV von 3 und 5:

Vielfachen von 3 à 3, 6, 9, 12, 15, 18

Vielfachen von 5 à 5, 10, 15, 20

Der kgV von 3 und 5 ist also 15.

Beispiel: kgV von 8 und 12:

Vielfachen von 8 à 8, 16, 24, 32

Vielfachen von 12 à 12, 24, 36

Die Lösung ist also 24

Dieses Verfahren ist einfach und funktioniert in einer Vielzahl von Fällen relativ schnell. Teilweise kommt man sogar noch schneller auf die Lösung in dem man beide Zahlen multipliziert. Das erste Beispiel hätte man zum Beispiel auf diese Weise lösen können (3 · 5 = 15). Beim zweiten Beispiel hätte man zwar auch ein Vielfaches von beiden Zahlen erhalten, es wäre jedoch nicht das kleinste Vielfache gewesen (8 · 12 = 96).

Kleinstes gemeinsames Vielfaches über den größten gemeinsamen Teiler bestimmen

Wenn man bereits den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen kennt, ist das bestimmen des kgV der Zahlen relativ einfach. Hierfür multipliziert man einfach die beiden Zahlen und dividiert sie anschließend durch den ggT.

Beispiel 126 und 54:

ggT von 126 und 54: 18 (siehe Kapitel „größter gemeinsamer Teiler“)

kgV von 126 und 54 = 54 · 126 / 18 = 378

Da wir den ggT der Zahlen schon kannten, konnten wir hier die Zahlen einfach multiplizieren und anschließend durch den ggT teilen. Das Ergebnis ist 378.