Potenz ableiten
- Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f(x)=a⋅xn wobei a und n (der Exponent) reelle Zahl sind.
- Die Ableitung einer Potenzfuntkion mit ganzzahligem Exponenten wird durch die folgende Potenzregel bestimmt: f′(x)=n⋅a⋅xn-1
- Die Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist also gleich derselben Potenzfunktion, aber mit einem Exponenten n−1 der um 1 kleiner ist als der Exponent n der Ausgangsfunktion. Hinzu kommt noch die Multiplikation mit n.
Beispiele
♦f(x)=x10 ► für die Ableitung ergibt sich nach der Potenzregel f`(x)= x10-1 ⇒ 10x9
♦Als Ableitung von f(x)=8x7 erhält man nach Faktor-und Potenzregel f`(x)=8*(7x6) ⇒ 56x6
Beispiele für Potenzfunktionen:
- a=2,n=1 ⇒ f(x)=2x eine Gerade durch den Ursprung
- a=-1,n=2 ⇒ f(x)=-x2 eine Parabel
- a=1,n=-3 ⇒ f(x)=x-3=1×3 eine Hyperbel
Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen: Definitionsbereich Wertebereich, Symmetrie, etc.. sind vom Exponenten n abhängig.
Wir schauen uns ein Beispiel an:
Gegeben: Die Funktion f(x) = x8
Gesucht: 1. Die Ableitung f ‚(x)
2. Die Ableitung an der Stelle x0=1
Lösung: Zur Lösung benutzt man die Potenzregel:
f ‚(x) = n·xn-1 = 8·x8-1 = 8·x7
Nun bestimmen wir die Ableitung an der Stelle x0=1:
f ‚(x0) = 8·(x0)7 = 8·17 = 8
Mit Potenzen drückt man aus, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Die Potenzregeln, auch Potenzgesetze genannt, sind grundlegend und kommen häufig vor.
Merke
- Wende die Regeln an.
- Konstanten fallen weg.
- Faktoren bleiben stehen und eine Potenz leitet man ab, in dem man den Exponenten mit den Koeffizienten multipliziert und danach vom Exponenten Eins abzieht.
Die Ableitung einer Potenz ist das Produkt des Werts des Exponenten und der Potenz mit um 1 vermindertem Exponenten (ausgenommen der Exponent ist 0).
Beispiel: f(x) = x79 => f'(x) = 79 * x79-1 = 79 * x78
Beispiel: f(x) = 3 * x100 => f'(x) = 3 * (x100)‘ = 3 * 100 * x100-1 = 300 * x99
Beispiel: f(x)= 3x2+4x =>f`(x)=6x+4