Punktsymmetrie
Bei einer Punktsymmetrie spiegelt man jeden Punkt an einem Punkt, so dass dann alle Punkte wieder übereinstimmen. Die Punktsymmetrie beschreibt die Symmetrie eines Objekts um einen Punkt herum. Die Punktsymmetrie entspricht einer Drehung der Figur um genau 180 Grad. Somit ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie.
Punktsymmetrie liegt immer dann vor, wenn im Funtkionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen.Dieser Sachverhalt erklärt sich daraus, daß der Wert einer Potenz mit ungeradem Exponenten immer entgegengesetzt gleich ist, unabhängig davon, welches Vorzeichen die Basis hat.
Beispiele für Punktsymmetrie
Bei einem Vierteck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
- Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
- Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
- Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
- Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.
Unser Lernvideo zu : Punktsymmetrie
Eigenschaften punktsymmetrischer Figuren
♦Die Verbindungsstrecke zwischen Punkt und Bildpunkt wird vom Symmetriezentrum halbiert.
♦Symmetrische Strecken sind gleich lang (Längentreue).
♦Symmetrische Winkel sind gleich groß (Winkeltreue).
♦Der Umlaufsinn von Figuren ändert sich nicht.
⇒Der Drehpunkt wird dabei als Symmetriezentrum betrachtet. Der Drehwinkel als Symmetriewinkel.
⇒Ist eine Figur bereits nach einer Drehung um einen Winkel φ= 360/n mit sich selbst deckungsgleich, wobei
⇒n>2 eine beliebige natürliche Zahl ist, so heißt die Figur mehrfach punktsymmetrisch.
⇒Punktsymmetrische Figuren können ebenso als Paare von punktsymmetrisch liegenden Figuren aufgefasst werden, deren Flächen sich zum Teil überschneiden.
Im Gegensatz zur Achsensymmetrie bedeutet Punktsymmetrie, dass wir nicht mehr an einer Strecke spiegeln sondern eben an einem Punkt spiegeln oder auch drehen.
Punktsymmetrisch sind zum Beispiel die Buchstaben „N“ und „Z“ oder ein Parallelogramm.
Man kann die Symmetrieart auch ohne zu rechnen bestimmen. Der Trick besteht darin, dass du die Exponenten dir genau anguckst.
Merke: Sind im Funktionsterm alle Potenzen von x ungerade, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung
Beispiel
2/3x3-0,8x1 ⇒ Exponent ungerade also Punktsymmetrie
oder
1/3x3-x ⇒Exponent ungerade also Punktsymmetrie
Merke: X ohne Exponent gilt als ungerader Exponent; Bsp x3-2x = x3-2x1