Quadratische Funktion durch 3 Punkte
Funktionen, die sich mit Termen der Form f(x) = ax2 + bx+c mit a ≠ 0 darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen heißen Parabeln.
Die Gleichung y = ax2+ bx +c heißt somit Parabelgleichung
Falls man die Parabel aber direkt aus einem Koordinatensystem ablesen will oder in ein Koordinatensystem zeichnen will, dann bietet sich eine alternative Darstellungsform an: die sogenannte Scheitelform oder Scheitelpunktsform
Parabeln haben ein typisches bogenförmiges Aussehen und können nach oben oder nach unten geöffnet sein.
Parameter und ihre Bedeutung
Parameter a
Konzentrieren wir uns deshalb zu Beginn, was eine Änderung des Koeffizienten a (Koeffizient ist immer der Parameter/die Zahl vor dem x) bei f(x) = ax2 bewirkt.
Fall: a > 0
Ist a > 0, dann ist für jedes x das x2 positiv. Erinnert euch daran, dass eine negative Zahl ins Quadrat ebenfalls positiv wird. Zeichnet man diese Funktion ergibt sich eine nach oben geöffnete Parabel
Fall: a < 0
Die Werte bei f(x) = ax2 sind stets positiv. Nun aber ist der Vorfaktor (also der Koeffizient) negativ da a < 0 , was dazu führt, dass die Werte immer kleiner gleich 0 sind. Die Parabel ist also nach unten geöffnet
Unser Lernvideo zu : Quadratische Funktion durch 3 Punkte
Parameter b
Verändert ihr den Parameter b, so verschiebt sich zwar die Parabel, aber die Verschiebung ist nicht so einfach wie beim Parameter c. Parameter b gibt also die Verschiebung an!
Parameter c
Der Parameter c ist bei f(x) = ax2 + bx+c insofern wichtig, als dass er uns erlaubt den y-Achsenabschnitt sofort abzulesen. Zur Erinnerung: Der y-Achsenabschnitt beschreibt den Schnittpunkt mit der y-Achse, also an der Stelle x = 0. Für c > 0 haben wir demnach eine nach oben verschobene Parabel. Für c = 0 eine Parabel, die durch den Nullpunkt geht und für c < 0 haben wir eine nach unten verschobene Normalparabel.
Beispiel
Wir haben 3 Punkte gegeben und wollen die dazugehörige Funktionsgleichung finden
Unsere Punkte lauten
- P1 (-2/15)
- P2 (0/5)
- P3 (-6/1)
⇒zuerst setzen wir die 3 Punkte in die Gleichung ein
(P1)→ 15=(-2)2+b*(-2)+c
(P2)→ 5=02+0b+c
(P3)→ 1=(-6)2+(-6)*b+c
⇒Wir beginnen mit dem Punkt P2 weil es einfach zu lösen ist, da x=0. Von der Gleichung P2 bleibt, also nur folgendes übrig:
(P2)→ 5=02+0b+c -> 5=c
⇒Das heißt, wir kennen einen der Variablen schon. Wenn wir diese Variable b jetzt in den beiden anderen Gleichungen jeweils durch 5 ersetzen, können wir durch umformen und auflösen nach b auch die letzte Variable herausfinden
(P1)→ 15=(-2)2+b(-2)+5
<=> 15=4-2b+5 -(4+5)
<=> 6=-2b /(-2)
<=> -3=b
Also lautet unser Ergebnis : f(x)=x2-3x+5
Vorgehensweise
- Punkte in die Funktionsgleichung einsetzten.
- Schauen, ob bei einer der Gleichungen ganz offensichtlich eine Variable durch umformen gefunden werden kann.
- Die Gleichung umformen.
- Die gefundene Zahl an Stelle der Variable in alle Gleichungen einsetzen.
- Sich eine Gleichung nehmen, sie nach der übrig gebliebenen Variable auflösen
- Die Variablen in die Funktionsgleichung einsetzten und mit den 3 Punkten überprüfen.