Erwartungswert in der Statistik
♦Der Erwartungswert ist ein Wert der sich bei steigendem Stichprobenumfang mit zunehmender Wahrscheinlichkeit als arithmetisches Mittel aller gemessenen Stichprobenergebnisse ergibt.
♦Der Erwartungswert ist ein Wert in der Stochastik und kommt im Zusammenhang mit Zufallsgrößen vor. Man kann sagen, der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments, d.h wir würden diesen Wert erwarten, wenn wir das Experiment unendlich lange durchführen würden.
♦Vorstellung: Der Erwartungswert beim Würfeln eines Würfels (1+2+3+4+5+6)/6=3.5 sagt dir, dass du beim würfeln im Mittel 3.5 Augen „erwarten“ kannst
Ziel
a) ”durchschnittlicher Wert“ −→ Erwartungswert, z.B.
• ” mittleres“ Einkommen,
• ”durchschnittliche“ Körpergröße,
• „fairer Preis eines Spiels“
b) Streuung (Dispersion), z.B. wie stark schwankt das Einkommen, die Körpergröße etc…
Formel
- E(X) = x1 · P(X = X1 ) + x2 · P(X = x2 ) + … + Xn · P(X = Xn )
Unser Lernvideo zu : Erwartungswert in der Statistik
Unterschied zwischen Erwartungswert und arithmetischer Mittelwert
Das arithmetische Mittel ist ein wert der beschreibenen Statistik. Er ist definiert als Quotient der Summe aller beobachteten Werte und der Anzahl der Werte.
Z.B. Werfen wir 5 mal einen Würfel. Die beobachteten Werte seien: 1,3,3,4,6
Das arithmetische Mittel ist jetzt (1+3+3+4+6)/5 = 17/5 = 3,4
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die hingegen die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.
Beim Würfel wären das 3,5.
Für unendlich viele Versuche sollte sich das arithmetische Mittel dem Erwartungswert annähern.
Kurzgefasst kann man sagen; Der Erwartungswert ist der theoretische Wert und der arithmetische Mittelwert der praktische Wert!
Beispiel
Wir wollen den Erwartungswert berechnen
P ( { X = 1 } ) = 0,4
P ( { X = 2 } ) = 0,3
P ( { X = 3 } ) = 0,2
P ( { X = 4 } ) = 0,1
träger der Verteilung X=( 1, 2 ,3, 4 )
= 1*P( X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) + 4*P( X=4)
= 1*0,4 + 2*0,3 +3*0,2 +4*0,1
=2
Unser Erwartungswert ist also 2