Teilbarkeitsregeln
Immer wieder werden wir in der Mathematik das Problem haben, dass wir wissen müssen, ob eine Zahl durch eine andere Teilbar ist oder nicht. Wir reden dabei immer von natürlichen Zahlen. Die Zahl soll also ohne Rest teilbar sein.
Eine Zahl a ist durch eine andere Zahl b teilbar, wenn bei der Division a : b kein Rest bleibt.
Wir stellen an dieser Stelle die wichtigsten und gebräuchlichsten Tipps und Tricks für die Teilbarkeit vor.
Rechner Teilbarkeitsregeln
Unser Lernvideo zu : Teilbarkeitsregeln
Teilbar durch 2
Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Eine Zahl ist gerade, wenn ihre letzte Ziffer eine 2, 4, 6, 8 oder 0 ist. Beispiele: 2, 4, 44, 8566, 54950660…
Teilbar durch 3
Durch drei ist eine Zahl immer dann teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern.
192: Die Quersumme beträgt 1 + 9 + 2 = 12. 12 ist durch 3 teilbar (12 : 3 = 4). Damit ist 192 auch durch 3 teilbar (192 : 3 = 63).
5748: Quersumme: 5 + 7 + 4 + 8 = 24. 24 ist durch 3 Teilbar. Auch diesen Schritt könnten wir mit der Quersumme überprüfen (Quersumme von 24 = 6. 6 : 3 = 2). 5748 ist also durch 3 teilbar (5748 : 3 = 1916).
65: Quersumme: 11. 11 ist nicht durch 3 teilbar. 65 ist damit also auch nicht durch 3 teilbar.
Teilbar durch 4
Damit eine Zahl durch 4 teilbar ist, muss sie zunächst einmal durch 2 teilbar sein (siehe Teilbar durch 2). Hinzu kommt die Regel, dass die letzten beiden Stellen durch 4 teilbar sein müssen.
9136: Diese Zahl ist gerade und damit durch 2 teilbar. Die letzten beiden Stellen sind durch 4 teilbar (36 : 4 = 9). 9136 ist also durch 4 teilbar.
4346: wir überprüfen zunächst die Teilbarkeit durch 2. 6 ist eine gerade Zahl und damit ist die Zahl durch 2 Teilbar. Wir nehmen uns also die letzten beiden Stellen vor (46). 46 ist nicht durch 4 Teilbar. Damit ist 4346 auch nicht durch 4 Teilbar.
Teilbar durch 5
Immer wenn eine Zahl auf 0 oder 5 endet ist die Zahl durch 5 teilbar:
3345: Endet auf 5 und ist damit durch 5 teilbar.
1040: Endet auf 0 und ist damit durch 5 teilbar.
2393: Endet nicht auf 5 oder 0. Ist also nicht durch 5 teilbar.
Teilbar durch 6
Durch 6 ist eine Zahl immer dann teilbar, wenn sie auch durch 2 und 3 teilbar ist. Sie muss also gerade sein und ihre Quersumme muss durch 3 teilbar sein.
3048: Die Zahl ist gerade und die Quersumme (3 + 0 + 4 + 8) ist durch 3 Teilbar.
Alle Regeln im Überblick
- Durch 2: Wenn die Zahl gerade ist (0, 2, 4, 6, 8 am Ende)
- Durch 3: Wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Durch 4: Wenn sie durch 2 teilbar ist und die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.
- Durch 5: Wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.
- Durch 6: Wenn die Zahl durch 2 und 3 teilbar ist. Wenn sie also gerade ist und die Quersumme durch 3 Teilbar ist.
- Durch 8: Wenn die letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.
- Durch 9: Wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist:
- Durch 10: Wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
Teilbar durch 7
Als komplizierteste Regel möchten wir hier diese Regel vorstellen und anhand eines Beispiels erklären.
Beispiel: 3675 : 7
1. Um herauszufinden ob die Zahl durch 7 teilbar ist, spalten wir die letzte Ziffer der Zahl 3675 ab. Wir erhalten also die beiden Zahlen a = 367 und b = 5.
2. Jetzt subtrahieren wir a mit dem doppelten von b. 367 – 5 · 2 = 357. Die Zahl die wir erhalten prüfen wir erneut auf die Teilbarkeit von 7.
3. Wenn wir uns an dieser Stelle noch nicht sicher sind, ob 357 durch 7 teilbar ist, wiederholen wir das Vorgehen. Wir spalten erneut die letzte Stelle ab. a = 35 und b = 7.
5. Wir rechnen wieder a – 2 · b = 35 – 2 · 7 = 21. 21 ist durch 7 teilbar. Damit ist die Zahl 3675 auch durch 7 teilbar.
Dieses Vorgehen funktioniert mit jeder Zahl. Wir können es beliebig oft wiederholen, bis wir eine Zahl erhalten, die klein genug ist um die Teilbarkeit mit 7 im Kopf überprüfen zu können.
Die Regel lautet also:
Eine Zahl ist dann durch 7 teilbar, wenn auch die Zahl durch 7 teilbar ist, die man erhält, wenn man das Doppelte der letzten Ziffer von der verbliebenen Zahl abzieht.
Arbeitsblätter zu Teilbarkeitsregeln
Arbeitsblatt 1 zu Teilbarkeitsregeln Arbeitsblatt 2 zu Teilbarkeitsregeln Arbeitsblatt 3 zu Teilbarkeitsregeln Arbeitsblatt 4 zu Teilbarkeitsregeln Arbeitsblatt 5 zu Teilbarkeitsregeln