Teilermengen
Was sind Teilermengen?
Der Teiler ist eine Zahl, durch die man eine andere Zahl teilen kann. Die Teilermenge einer Zahl ist eine Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man diese Zahl teilen kann, ohne, dass ein Rest bleibt.
Beispiel: Teilermenge von 9
T9 = {1, 3, 9}
Vielfache und Teiler
- Vielfache: Eine Zahl x ist Vielfache einer anderen Zahl y, wenn die Zahl x einmal, zweimal, dreimal,…. so groß ist,wie die Zahl y.
- Teiler: Eine Zahl x ist Teiler einer anderen Zahl y, wenn x die Zahl y teilt. Das ist genau dann der Fall, wenn y ein Vielfaches ist von x ist.
Schreibweise:
- Für „x ist Teiler von y“ schreibst du: x | y
- Für „x ist kein Teiler von y“ schreibst du: x ∤ y
Merke:Die Anzahl der Teiler einer Zahl kannst du bestimmen, indem du die Elemente ihrer Teilermenge zählst.
Nun schauen wir uns den folgenden Beispiel an!
A={1,2,3,4,5} B={3,4,5} B
A
⇒Zuerst wollen wir feststellen, aus welchen Elementen die Menge A und B besteht.
- Die Menge A besteht aus den Elementen 1,2,3,4 und 5
- Die Menge B besteht aus den Elementen 3,4 und 5
⇒Dabei stellen wir fest, dass jedes Element von B auch in A vorkommt. Also ist die Menge B eine Teilmenge der Menge A!!
oder
Die Zahl 10! Die teilermengen dieser Zahlen sind [ 1,2,5,10]
usw….
Unser Lernvideo zu : Teilermengen
Für viele fällt es schwer die Unterschiede zwischen Teiler, gemeinsamer teiler und größter gemeinsamer Teiler festzustellen. Damit ihr dabei nicht durcheinander kommt, hier einige Notizen dazu
- Teiler: Ein Teiler ist jede Zahl,die eine andere Zahl ohne Rest teilt. Bsp hat 15 die teiler 1,3,5 und 15
- gemeinsamer teiler: Gemeinsam bedeutet, dass nur Teiler betrachtet werden, die beide Zahlen ohne Rest teilen. Genaugenommen handelt es sich bei den gemeinsamen Teilern um die Schnittmenge der Mengen aller Teiler beider Zahlen. Die Zahl 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Gemeinsame Teiler beider Zahlen sind: 1, 2, 3 und 6.
- größter gemeinsamer teiler: Im Bereich der ganzen Zahlen ist damit ein ggT ( größter gemeinsamer teiler) eindeutig festgelegt. Man kann also nicht nur sagen, dass 6 ein größter gemeinsamer Teiler von 30 und 12 ist, sondern man muss sogar sagen, 6 sei der größte gemeinsame Teiler von 30 und 12. Diese Eindeutigkeit des ggT wird durch das Attribut größter festgelegt.
folgende Regeln müsst ihr noch kennen: Die Teilerregel
1. Teilbarkeit durch 2, 5 und 10!
- Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist!
- Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist!
- Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist!
2. Teilbarkeit durch 4 und 25!
- Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern 25, 50, 75 oder 00 lauten!
- Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern Nullen sind, oder eine durch vier teilbare Zahl bilden!
3. Teilbarkeit durch 3 und 9!
- Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist!
- Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist!
4. Teilbarkeit durch 6!
- Eine gerade Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist!
5. Teilbarkeit durch 8!
- Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind!
- Sind die letzten drei Ziffern 000, so ist die Zahl ebenfalls durch 8 teilbar!
6. Teilbarkeit durch 12!
- Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist!
7. Teilbarkeit durch 15!
- Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist!
8. Teilbarkeit durch 18!
- Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und 9 teilbar ist!
9. Teilbarkeit durch 24!
- Eine Zahl ist durch 24 teilbar,wenn sie durch 3 und 8 teilbar ist!
Merke dir:
- Die Teiler treten immer paarweise auf
- Primzahlen haben genau 2 teiler
- Die Vielfachen von 2 heißen gerade Zahlen, die anderen natürlichen Zahlen heißen ungerade Zahlen