Additionstheoreme
♦Wenn du den Sinus bzw. Kosinus zwei addierter Winkel berechnen möchtest, kannst du die Additionstheoreme verwenden, so dass Sinus und Cosinus nur von den einzelnen Winkeln berechnen brauchst.
♦Die dienen häufig der Vereinfachung (Komplizierten Winkel als Summe bzw. Differenz zwei einfacherer Winkel darstellen) oder der Umformung.
♦Als Additionstheoreme für Winkelfunktionen werden Formeln bezeichnet, durch die die Funktionswerte von Summen und Differenzen von Winkeln auf die Werte der trigonometrischen Funktionen einzelner Winkel zurückgeführt werden.
Unser Lernvideo zu : Additionstheoreme
Additionstheoreme für Sinus
sin(α + β) = sin(α)*cos(β) + cos(α)*sin(β)
sin(α – β) = sin(α)*cos(β) – cos(α)*sin(β)
Additionstheoreme für Kosinus
cos(α + β) = cos(α)*cos(β) – sin(α)*sin(β)
cos(α – β) = cos(α)*cos(β) + sin(α)*sin(β)
Beispiel
-cos(1/x)*cos(3/x)+3sin(1/x)*sin(3/x)
Wir wollen nun das Beispiel mit Hilfe des Additionstheoreme berechnen
Additionstheoreme ist folgende: cos(x+y)=cosx*cos(y)-sin(x)*sin(y)
x=1/x und y=3/x
Jetzt überlegen wir, was wir zu cos(y-z) addieren müssen
cos(y-z) = cos(y) cos (z) +sin(y) sin(z)
Also
-cos(y) cos(z) + 3(y) sin(z)
= cos(y)cos(z)+ sin(y)sin(z)- 2cos(y) cos(z) + 2sin(y)sin(z)
=cos(y-z)- 2cos(y)cos(z) + 2sin(y) sin(z)
=cos(y-z) – 2*( (cos(y) cos(z)- sin (y)sin(z) )
=cos(y-z) – 2cos(y+z)