Wendetangente berechnen

Beispiel

Unsere Funktion lautet f(x)= x³

zuerst bilden wir vorweg alle drei Ableitungen

f(x)`  =3x²

f(x)` `=6x

f(x)„`=6

Bevor wir die Wendetangente berechnen, müssen wir die Wendepunkte bestimmen.

Vorgehensweise

• Zweite Ableitung berechnen
• Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
• Dritte Ableitung berechnen
• Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen

-> ist die dritte Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt

• Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen

Unsere Rechnung nach der Vorgehensweise

►2. Ableitung gleich Null setzen    6x=0    ⇒ x=0

► Dritte Ableitung bilden:          f(x)„`=6

►Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen.

Da wir aber kein X-Wert in der dritten Ableitung haben und voraus wissen, dass die dritte Ableitung immer ungleich Null ist. Können wir also ausschließen 6≠0

Unser Wendepunkt liegt also bei x=0

►Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen: 0³ =0

Wendepunkt bei (0/0)

Unser Lernvideo zu : Wendetangente berechnen

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Tangentengleichung aufstellen

Nachdem wir nun die Wendepunkte und die Wendetangente berechnet haben, können wir zum Schluss die Tangentengleichung aufstellen.

Die Formel dafür hatten wir ja schon oben aufgeschrieben. Diese lautet folgendermaßen

t_w= y= m*(x-x₀) + y₀

In diese Formel setzen wir nun unsere berechneten Werte ein, also

x₀=0

y₀=0

und m ( Steigung) = 0

und erhalten

t_w: y=0*(x-0) +0   ► t_w: y=0

 

Interessante Fragen und Antworten zu Wendetangente berechnen

Was bekomme ich raus, wenn ich den Wendepunkt in die Wendetangente einsetze?

Die Wendetangente berührt den Wendepunkt der Funktionsgraphen und hier bekommt man den selben Punkt als Lösung heraus. Verdeutlicht man sich die gemeinsamen Punkte in der Wendetangente 1/3, dann ist dies eigentlich schon das Ergebnis zur Beantwortung der Frage. Die entsprechende Funktion der Wendetangenten bildet der gemeinsame Punkt 1/3. So ergibt sich aus der Rationalität auch, dass es sich auch um eine entsprechende Wendetangente handelt. Der Berührungspunkt oder besser ausgedrückt, der gemeinsame Punkt 1/3 besitzt die selbe Steigung wie der verwendete Funktionsgraph. Hier wird dann auch nicht die entsprechende Steigung der Wendetangente berührt.Hier eine allgemein verbindliche Ableitung aus dieser Betrachtung; die entsprechende Gleichung der Wendetangente lautet y = 1/3 x + 3 2/3 , jetzt die entsprechende Steigung der Wendetangente zum Punkt 1/3 . Es ergibt sich der x-Wert /Wendestelle 1 und somit ist der y-Wert 4. Ergebnis 1/3 aus der Ableitung der Gleichung y = 1/3 x + 3 2/3 und der Wert der Kurvenbetrachtung Wp (1 | 4) ist dann folglich 1/3 . Somit kann die Frage entsprechend der Ableitung genau beantwortet werden und es kommt wie erwähnt 1/3 heraus.

Was kann ich aus einer Wendetangente ablesen?

Eine Wendetangente befindet sich am Wendepunkt. Dieser ist der Punkt, an dem die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve wechselt oder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt. Die Wendetangente gibt also die Steigung im Wendepunkt an. An der Wendetangente sehen Sie also nicht nur, an welchem Punkt sich die Kurve der Funktion ändert, sondern auch, welche Steigung diese in diesem Punkt hat.Ein Beispiel für eine Wendetangente ist eine Funktion, die die Steigung eines Berges angibt. Die Funktion beginnt im Ursprung und geht dann steil nach oben, weil auch der Berg sehr steil wird. Dann wird er flacher, sodass auch der Graph flacher wird. Anschließend wird der Graph wieder steiler. Der Graph macht also erst eine Rechtskurve und geht dann in eine Linkskurve über. Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem der Graph am flachsten ist. Wird die Wendetangente mithilfe der Ableitung berechnet, gibt diese an, welche Steigung der Graph in diesem Punkt hat. Sie zeigt also die Steigung der flachsten Stelle des ansteigenden Berges.

Wie berechne ich nochmal die Steigung einer Wendetangente?

Als eine Wendetangente wird ein Punkt auf einem Funktionsgraphen bezeichnet, bei dem der Graph eine Änderung seines Krümmungsverhalten vornimmt. Dabei wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve, oder der genaue umgekehrt. An diesem Punkt muss die Wendetangente angelegt werden. Um die Berechnung der Wendetangente vorzunehmen wird die Gleichung der Wendentagente benötigt. In dieser Gleichung symbolisiert der Buchstabe m die Steigung. Um die Steigung m ausrechnen zu können, benötigen wir als erstes den Wendepunkt. Sind die Koordinaten von diesem Wendepunkt bekannt, dann wird nur noch die Steigung von diesem Wendepunkt benötigt. Um diese berechnen zu können, müssen die x-Koordinate vom Wendepunkt in die erste Ableitung eingesetzt werden. Auf diese Weise berechnen wir die Steigung der Wendetangente.

Wie erstelle ich dann die Funktion der Wendetangente?

Die Wendetangente ist eine Gerade, die durch den Wendepunkt einer Funktion verläuft. Um sie zu bestimmen, muss man zuerst den Wendepunkt der vorliegenden Funktion bestimmen; außerdem muss man die Steigung der Funktion an diesem Punkt herausfinden. Der Wendepunkt ist der Punkt, in dem die Funktion ihre Richtung – also entweder von einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt- ändert.Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss man zuerst die zweite Ableitung der Funktion bilden. Dieser wird in die allgemeine Funktion für die Wendetangente: y=m·(x-x0)+y0 eingesetzt. Dann fehlt nur noch m, also die Steigung. Diese kann man durch das Einsetzen des x-Wertes des Wendepunktes in die erste Ableitung der Funktion und das Auflösen dieser Gleichung herausfinden. Durch das Einsetzen der Werte in die allgemeine Funktion der Wendetangente findet man die gesuchte Funktion.