Zweierlogarithmus
Wofür brauchen wir das Logarithmieren?
- Grundsätzlich werden Logarithmen dort verwendet, wo die Werte enorme Größen annehmen. Warum? Ganz einfach: Wenn ihr 10x in einem Koordinatensystem einzeichnet, kommt es entlang der y-Achse schnell zu Problemen, da die Werte riesig werden. Mit jedem +1 auf der x-Achse (für den Exponenten) erhöht sich der Wert enorm! 102 = 100, doch 106 = 100.000 ! Daher verwendet man eine logarithmische Darstellung. Anstatt 10x nutzt man also log x. Dadurch kann man bequem nur die 2 und die 6 auf der y-Achse abtragen.
Wann ist ein Logarithmus nicht definiert?
- Der Logarithmus ist nicht definiert, wenn der Numerus den Wert Null hat, da keine Potenz zum Wert Null führt (ohne Berücksichtigung von Null hoch Null):
- loga0=n.d., denn ax≠ 0
Unser Lernvideo zu : Zweierlogarithmus
Zweierlogarithmus
Wir schauen uns folgendes an.
y=2x ► jetzt logarithmieren wir und erhalten dabei ► log2y=x
►y=2x=8
- Wie bei jeder Gleichung gilt: Was man links macht, muss man auch rechts machen. Somit wird der Logarithmus auf beiden Seiten angewendet.
- log2y = x bedeutet: Der Logarithmus von y zu Basis 2 ist gleich x. Ihr müsst euch also folgendes überlegen: Welche Hochzahl x benötige ich, mit der die Zahl 2 potenziert werden muss, damit man y erhält.
►Was genau bedeutet log2=8 (sprich:„Logarithmus von 8 zur Basis 2“)? Ganz einfach:Man muss sich überlegen, mit welcher Zahl x man die Basis 2 potenzieren muss, um auf das Ergebnis 8 zu kommen. Du fragst dich also:„2 hoch was ergibt 8?“ Wir haben uns vorher schon überlegt, dass 2 hoch 3 genau 8 ergibt. Daher ist die Zahl log28=3 . Du kannst umgekehrt überprüfen, ob log28=3 korrekt ist, indem du schaust, ob 23=8 gilt.
In anderen Worten der Logarithmus zur Basis 2 (Zweier-Logarithmus) holt bei der Gleichung 
23=8 das x aus der Potenz herunter. Mit dem Zweier-Logarithmus kannst du die Gleichung 23=8 nach xauflösen. Man braucht den Logarithmus zur Basis 2, also log2 , weil in der Gleichung 23=8 die Basis (die Zahl, die beim x unten steht) 2 ist.
| Rechenregel | Beispiel |
| loga ( u · v ) = logau + logav | log2 ( 4 · 8 ) = log24 + log28 = 3 +2 = 5 |
| loga ( u : v ) = logau – logav | log3 ( 81 : 9 ) = log381 – log39 = 4 – 2 = 2 |
| logaun = n · logau | log51254 = 4 · log5125 = 4 · 3 = 12 |
Anwendungen: Der Zweierlogarithmus wird u. a. in der Informatik für Rechnungen im Binärsystem verwendet. Der natürliche Logarithmus hängt eng mit Exponentialfunktionen und Zinsrechnung zusammen. Der Zehnerlogarithmus spielt beispielsweise bei der Berechnung des pH-Werts eine Rolle.